ГДЗ по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 770

\[\boxed{\mathbf{770.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[OABC - тетраэдр;\]

\[O_{1} - проекция\ точки\ O\ на\ \]

\[плоскость\ ABC;\]

\[AOC = AOB = 90{^\circ}.\]

\[Доказать:\]

\[S_{\text{AOB}}^{2} = S_{\text{ABC}} \bullet S_{\text{AB}O_{1}}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ O_{1} - проекция\ точки\ \text{O\ }на\ \]

\[поскость\ ABC:\]

\[OO_{1}\bot ABC;\]

\[OO_{1} - высота\ тетраэдра.\]

\[2)\ AO\bot ABC\ и\ OO_{1}\bot ABC:\]

\[\text{AO}O_{1}\bot ABC;\]

\[\text{AO}O_{1}\bot BCO.\]

\[Значит:\ \]

\[BC\bot AOO_{1};\]

\[BC\bot AO_{1}.\]

\[3)\ Аналогично - \ BO_{1}\bot AC:\]

\[4)\ CO_{1} \cap AB = H:\ \]

\[\angle CHO - линейный\ угол\ между\ \]

\[плоскостями\ \text{ABC\ }и\ \text{OAB.}\]

\[5)\ OO_{1}\bot HC\ \ и\ \ OH\bot AB:\]

\[S_{\text{AOB}} = \frac{1}{2}AB \bullet OH;\ \ \]

\[S_{\text{ABC}} = \frac{1}{2}AB \bullet CH =\]

\[= \frac{1}{2}AB \bullet \frac{\text{OH}}{\cos{\angle CHO}};\]

\[S_{\text{AB}O_{1}} = \frac{1}{2}AB \bullet O_{1}H =\]

\[= \frac{1}{2}AB \bullet OH \bullet \cos{\angle CHO}.\]

\[= \frac{1}{4} \bullet AB^{2} \bullet OH^{2}.\]

\[Таким\ образом:\]

\[S_{\text{AOB}}^{2} = S_{\text{ABC}} \bullet S_{\text{AB}O_{1}}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]