ГДЗ по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 788

\[\boxed{\mathbf{788.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - правильный;\]

\[AB = a;\]

\[BD \uparrow \uparrow CE;\]

\[BD\bot ABC;\]

\[CE\bot ABC;\]

\[BD = \frac{a}{\sqrt{2}};\]

\[CE = a\sqrt{2}.\]

\[Доказать:\]

\[\mathrm{\Delta}ADE - прямоугольный.\]

\[Найти:\]

\[\angle(ABC,ADE).\]

\[Решение.\]

\[1)\ Построим\ в\ плоскости\ DCE:\ \ \]

\[DF\bot EC\ \ и\ \ DF \parallel BC.\]

\[Достроим\ ED\ и\ \text{BC\ }до\ \]

\[пересечения\ в\ точке\ H:\]

\[ED = BD = FC = \frac{a\sqrt{2}}{2};\]

\[EF = CE - FC = EC - BD =\]

\[= a\sqrt{2} - \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2};\]

\[HD = DE;\ \ \ HB = BC - a.\]

\[2)\ В\ \mathrm{\Delta}ABD - прямоугольном:\ \]

\[AD = \sqrt{a + \frac{a^{2}}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}}.\]

\[В\ \mathrm{\Delta}ACE - прямоугольном:\]

\[AE = \sqrt{a^{2} + 2a^{2}} = a\sqrt{3}.\]

\[\ В\ \mathrm{\Delta}DFE - прямоугольном:\]

\[DE = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}}.\]

\[3)\ AE^{2} = AD^{2} + DE^{2};\ \ \ \]

\[3a^{2} = \frac{3a^{2}}{2} + \frac{3a^{2}}{2}:\]

\[\angle ADE = 90{^\circ};\]

\[\mathrm{\Delta}ADE - прямоугольный.\ \]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[4)\ В\ \mathrm{\Delta}HBA:\ \ \]

\[\angle HBA = 180{^\circ} - 60{^\circ} = 120{^\circ};\]

\[HB = BA = a;\ \ \]

\[\angle HAB = \angle AHB = 30{^\circ}.\]

\[Значит:\]

\[\angle HAC = 30{^\circ} + 60{^\circ} = 90{^\circ};\]

\[\angle HAE = 90{^\circ}\ (по\ теореме\ о\ трех\ \]

\[перпендикулярах);\ \ \]

\[\angle EAC - искомый\ угол\ между\ \]

\[плоскостями\ \text{ABC\ }и\ \text{ADE.}\]

\[5)\ В\ \mathrm{\Delta}ACE:\ \]

\[\cos{\angle EAC} = \frac{\text{AC}}{\text{AE}} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} =\]

\[= \frac{\sqrt{3}}{3}\]

\[\angle(ABC,ADE) = \arccos\frac{\sqrt{3}}{3}.\]

\[\mathbf{Ответ}\mathbf{:\ \ }\arccos\frac{\sqrt{3}}{3}.\]