Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
Русский
История
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаГДЗ по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 794
794
\[\boxed{\mathbf{794.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]
\[Дано:\ \]
\[OBCD - тетраэдр;\ \ \]
\[AOB\bot BOC\bot COA;\ \]
\[O_{1} - проекция\ точки\ O\ на\ \]
\[плоскость\ ABC.\]
\[Доказать:\ \ \]
\[O_{1} - точка\ пересечения\ высот\ \]
\[\text{ABC}.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Обозначим\ ребра\ тетраэдра\ \]
\[как\ векторы:\]
\[\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{OC}} - \overrightarrow{\text{OB}};\ \ \]
\[\overrightarrow{O_{1}A} = \overrightarrow{\text{OA}} - \overrightarrow{OO_{1}}.\]
\[2)\ AOB\bot BOC\bot COA:\]
\[\overrightarrow{\text{OA}}\bot\overrightarrow{\text{OC}}\ \ и\ \ \overrightarrow{\text{OA}}\bot\overrightarrow{\text{OB}};\ \ \]
\[OO_{1}\bot ABC;\]
\[\overrightarrow{\text{BC}}\bot\overrightarrow{OO_{1}}.\]
\[Отсюда:\]
\[\overrightarrow{\text{BC}} \bullet \overrightarrow{O_{1}A} =\]
\[= \left( \overrightarrow{\text{OC}} - \overrightarrow{\text{OB}} \right) \bullet \left( \overrightarrow{\text{OA}} - \overrightarrow{OO_{1}} \right) =\]
\[= \overrightarrow{\text{BC}} \bullet \overrightarrow{OO_{1}} = 0.\]
\[Значит:\ \]
\[BC\bot O_{1}\text{A.}\]
\[Аналогично:\ \]
\[O_{1}B\bot AC\ \ и\ \ O_{1}C\bot AB.\]
\[Значит:\ \]
\[точка\ O_{1} - пересечение\ высот\ \]
\[треугольника\ \text{ABC}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
