ГДЗ по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 812

Авторы:
Год:2023
Тип:учебник

812

\[\boxed{\mathbf{812.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[ABCDM - правильная\ \]

\[четырехугольная\ пирамида;\]

\[ABCD - основание;\ \ \]

\[AB = a;\ \ \]

\[\angle AMB = \alpha;\ \ \]

\[прямая\ b \parallel AB\ проходит\ через\ \]

\[точку\ M;\]

\[пирамида\ вращается\ вокруг\ \text{b.}\]

\[Найти:\ \ \]

\[объем\ тела\ вращения\ V.\]

\[Решение.\]

\[1)\ Отметим\ на\ серединах\ \]

\[сторон\ \text{AD\ }и\ BC - квадрата\ \]

\[\text{ABCD\ }точки\ A_{2}\ и\ B_{2}.\]

\[Построим\ от\ них\ \]

\[перпендикуляры\ A_{2}A_{0}\ \ и\ \ B_{2}B_{0}\ \]

\[на\ прямую\ b;\]

\[опустим\ перпендикуляр\ \text{MH\ }на\ \]

\[ребро\ \text{AB.}\]

\[2)\ При\ повороте\ пирамиды\ \]

\[\text{MABCD\ }вокруг\ прямой\ \text{b\ }\]

\[отрезки\ A_{0}A,\ MH\ и\ B_{0}B,\ \]

\[которые\ перпендикулярны\ \]

\[прямой\ b,\ займут\ положения\ \]

\[A_{0}A_{1},MH_{1}\ и\ B_{0}B_{1}\ в\ плоскости\ \]

\[MA_{2}B_{2}.\]

\[Следовательно,\ тело\ \]

\[полученное\ вращением\ \]

\[пирамиды\ \text{MABCD\ }\]

\[совпадает\ с\ телом,\ полученным\ \]

\[вращением\ многоугольника\ \]

\[A_{1}A_{2}B_{1}B_{2}\text{M.}\]

\[3)\ Объем\ тела\ вращения\ \]

\[многоугольника\ A_{1}A_{2}B_{1}B_{2}\text{M\ }\]

\[равен\ разности\ объема\ \]

\[цилиндра,\ полученного\ \]

\[вращением\ прямоугольника\ \]

\[A_{1}B_{1}A_{0}B_{0}\ и\ объема\ конусов,\ \]

\[полученных\ при\ вращении\ \]

\[треугольников\ A_{2}A_{0}M\ и\ B_{2}B_{0}M.\]

\[4)\ В\ \mathrm{\Delta}AMH - прямоугольном:\ \ \]

\[MH = \frac{a}{2} \bullet ctg\frac{\alpha}{2}.\]

\[В\ \mathrm{\Delta}OMH - прямоугольном:\ \ \]

\[OM = \sqrt{MH^{2} - OH^{2}} =\]

\[= \sqrt{\frac{a^{2}}{4} \bullet ctg^{2}\frac{\alpha}{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a\sqrt{\cos\alpha}}{2\sin\frac{\alpha}{2}}.\]

\[5)\ MH = MH_{1},\ OM =\]

\[= A_{2}O_{0},\ A_{0}B_{0} = AB = a\ и\ A_{0}M =\]

\[= \frac{a}{2}:\]

\[V = V_{A_{1}B_{1}A_{0}B_{0}} - 2 \bullet V_{A_{2}A_{0}M} =\]

\[= \pi\left( MH_{1} \right)^{2}a - \frac{2}{3} \bullet \pi \bullet OM^{2} \bullet \frac{a}{2} =\]

\[= \frac{\pi a^{2}}{4} \bullet \frac{\text{ct}g^{2}\alpha}{2} \bullet a - \frac{1}{3}\pi \bullet \frac{a^{2} \bullet \cos\alpha}{4 \bullet \sin^{2}\frac{\alpha}{2}} \bullet a =\]

\[= \frac{\pi a^{3}}{12}\left( 3\ ctg^{2}\frac{\alpha}{2} - \frac{\cos\alpha}{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}} \right).\]

\[Ответ:\ \frac{\pi a^{3}}{12}\left( 3\ ctg^{2}\frac{\alpha}{2} - \frac{\cos\alpha}{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}} \right).\]

Скачать ответ
Есть ошибка? Сообщи нам!

Решебники по другим предметам