Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
Русский
История
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаГДЗ по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 814
814
\[\boxed{\mathbf{814.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]
\[Дано:\ \ \]
\[A_{1}A_{1}A_{3}A_{4} - тетраэдр;\ \ \]
\[H - точка\ пересечения\ высот\ \]
\[тетраэдра;\]
\[O - центр\ описанной\ сферы;\ \ \]
\[точка\ G - точка\ пересечения\ \]
\[отрезков,\]
\[соединяющих\ вершины\ с\ \]
\[точками\ пересечения\ \]
\[медиан\ противоположных\ \]
\[граней.\]
\[Доказать:\ \ \]
\[H,O\ и\ G - лежат\ на\ одной\ \]
\[прямой;\ \ \]
\[\text{H\ }и\ \text{O\ }симметричны\ \]
\[относительно\ точки\ \text{G.}\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Пусть\ точка\ M - точка\ \]
\[пересечения\ всех\ медиан\ A_{1}B_{1},\ \]
\[\text{\ \ A}_{3}B_{2}\ в\ \]
\[\mathrm{\Delta}A_{1}A_{2}A_{3}:\ \]
\[\overrightarrow{\text{OM}} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA_{1}} + \overrightarrow{OA_{2}} + \overrightarrow{OA_{3}} \right);\ \]
\[точка\ M - делит\ медиану\ в\ \]
\[пропорции\ 2\ :1.\ \]
\[\overrightarrow{OB_{1}} = \frac{1}{2} \bullet \left( \overrightarrow{OA_{2}} + \overrightarrow{OA_{3}} \right);\ \ \]
\[\overrightarrow{A_{1}M} = \overrightarrow{\text{OM}} - \overrightarrow{OA_{1}} =\]
\[= \frac{1}{3} \bullet \left( \overrightarrow{OA_{1}} + \overrightarrow{OA_{2}} + \overrightarrow{OA_{3}} \right) - \overrightarrow{OA_{1}} =\]
\[= \frac{1}{3} \bullet \left( \overrightarrow{A_{2}O} + \overrightarrow{OA_{3}} - 2\overrightarrow{OA_{1}} \right);\]
\[\overrightarrow{MB_{1}} = \overrightarrow{OB_{1}} - \overrightarrow{\text{OM}} =\]
\[= \frac{1}{6} \bullet \left( \overrightarrow{OA_{2}} + \overrightarrow{OA_{3}} - \overrightarrow{OA_{1}} \right);\]
\[точка\ M \in A_{1}B_{1}.\]
\[Решение\ аналогично\ для\ всех\ \]
\[медиан.\]
\[2)\ Точка\ G - центроида\ \]
\[тетраэдра:\]
\[\overrightarrow{\text{OG}} =\]
\[= \frac{1}{4} \bullet \left( \overrightarrow{OA_{1}} + \overrightarrow{OA_{2}} + \overrightarrow{OA_{3}} + \overrightarrow{OA_{4}} \right);\]
\[\overrightarrow{\text{AG}} = \overrightarrow{\text{OG}} - \overrightarrow{OA_{4}} =\]
\[= \frac{1}{12} \bullet \left( \overrightarrow{OA_{1}} + \overrightarrow{OA_{2}} + \overrightarrow{OA_{3}} - 3\overrightarrow{OA_{4}} \right);\]
\[\overrightarrow{A_{1}G} = 3\overrightarrow{\text{GM}}.\]
\[Значит:\ \]
\[точка\ G \in AM.\]
\[Аналогично\ для\ других\ граней.\ \]
\[3)\ Точка\ O - центр\ описанной\ \]
\[сферы:\]
\[\overrightarrow{\text{OH}} = 2\overrightarrow{\text{HG}};\ \ \ \]
\[A_{1}O^{2} = A_{2}O^{2} = A_{3}O^{2} = A_{4}O^{2};\]
\[A_{1}O^{2} = \left( \overrightarrow{\text{HO}} - \overrightarrow{HA_{1}} \right)^{2} =\]
\[= \frac{1}{4} \bullet \left( - \overrightarrow{HA_{1}} + \overrightarrow{HA_{2}} + \overrightarrow{HA_{3}} + \overrightarrow{HA_{4}} \right)^{2}.\]
\[Аналогично\ для\ других\ \]
\[вершин.\]
\[4)\ \overrightarrow{HA_{1}}\bot A_{2}A_{3}A_{4}:\ \]
\[\overrightarrow{HA_{1}}\bot\overrightarrow{A_{2}A_{3}};\]
\[\overrightarrow{HA_{1}} \bullet \overrightarrow{A_{2}A_{3}} = 0;\]
\[\overrightarrow{HA_{1}} \bullet \left( \overrightarrow{HA_{3}} - \overrightarrow{HA_{2}} \right) = 0.\]
\[Отсюда:\ \]
\[\overrightarrow{HA_{3}} = \overrightarrow{HA_{1}} \bullet \overrightarrow{HA_{2}}.\]
\[Получим:\ \ \]
\[\overrightarrow{A_{1}O^{2}} = \overrightarrow{A_{2}O^{2}}\text{.\ \ }\]
\[Аналогично\ для\ остальных\ \]
\[вершин.\]
\[5)\ Так\ как\ \overrightarrow{\text{HO}} = 2\overrightarrow{\text{HG}},\ то\ точки\ \]
\[H,O\ и\ \text{G\ }лежат\ на\ одной\ прямой\ \]
\[и\ точки\ \text{H\ }и\ \text{O\ }симметричны\ \]
\[относительно\ точки\ G.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
