ГДЗ по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 826

\[\boxed{\mathbf{826.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \]

\[AA_{1},BB_{1} - высоты.\]

\[Доказать:\]

\[A,B,A_{1},B_{1} \in окружность.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Отметим\ точку\ O =\]

\[= AA_{1} \cap BB_{1}:\ \]

\[\angle\text{BO}A_{1} = \angle AOB_{1}\ \]

\[(как\ вертикальные).\]

\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}\text{AO}B_{1}\ и\ \]

\[\mathrm{\Delta}BOA_{1} - прямоугольные:\]

\[\angle AB_{1}O = \angle OA_{1}B = 90{^\circ};\text{\ \ }\]

\[\angle AOB_{1} = \angle BOA_{1}.\]

\[Значит:\]

\[\mathrm{\Delta}\text{AO}B_{1}\sim\mathrm{\Delta}BOA_{1};\]

\[\angle OBA_{1} = \angle OAB_{1}.\]

\[3)\ Построим\ окружность\ через\ \]

\[точки\ A,B_{1}\ и\ A_{1}:\]

\[\angle B_{1}AA_{1}\ опирается\ на\ дугу\ B_{1}A_{1},\ \]

\[так\ как\ \angle B_{1}BA_{1} = \angle B_{1}AA_{1};\ \]

\[также\ опирается\ на\ дугу\ B_{1}A_{1}.\]

\[Точка\ B - принадлежит\ \]

\[данной\ окружности.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]