ГДЗ по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 831

Авторы:
Год:2023
Тип:учебник

831

\[\boxed{\mathbf{831.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[\text{ABCD} - четырехугольник;\ \ \]

\[AB \cap DC = N;\ \ \]

\[CB \cap DA = M;\]

\[\text{NO}\ и\ MO - биссектрисы\ углов\ \]

\[\angle AND\ и\ \angle\text{DMC.}\]

\[Доказать:\ \ \]

\[вокруг\ \text{ABCD\ }можно\ описать\ \]

\[окуружность\ только\ тогда,\]

\[когда\ NO\bot MO.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Отметим\ точки\ \ E = \text{NO} \cap \text{BC\ \ \ }\]

\[и\ \ \ F = \text{MO} \cap \text{BA.}\]

\[2)\ Пусть\ MO\bot NO.\]

\[Обозначим\ углы\ \angle CMO =\]

\[= \angle OMD = a\ \ и\ \angle ANO =\]

\[= \angle OND = \varphi.\]

\[3)\ В\ \mathrm{\Delta}MEO - прямоугольном:\ \ \ \]

\[\angle MEO = 90{^\circ} - a = \angle NEC\ \]

\[(как\ вертикальные\ углы).\]

\[4)\ В\ \mathrm{\Delta}NEC:\ \ \ \]

\[\angle NCE = 180{^\circ} - \varphi - (90{^\circ} - a) =\]

\[= 90{^\circ} + a - \varphi;\]

\[\angle BCD = 180{^\circ} - (90{^\circ} + a - \varphi) =\]

\[= 90{^\circ} - a + \varphi.\]

\[5)\ В\ \mathrm{\Delta}NFO - прямоугольном:\ \ \]

\[\angle NFO = 90{^\circ} - \varphi = \angle MFA\ \]

\[(как\ вертикальные\ углы).\]

\[6)\ В\ \mathrm{\Delta}MAF:\ \ \ \]

\[\angle MAF = 180{^\circ} - a - (90{^\circ} - \varphi) =\]

\[= 90{^\circ} - a + \varphi;\]

\[\angle BAD = 180{^\circ} - (90{^\circ} - a + \varphi) =\]

\[= 90{^\circ} + a - \varphi.\]

\[7)\ В\ четырехугольнике\ ABCD:\]

\[\angle BAD + \angle BCD =\]

\[= 90{^\circ} + a - \varphi + 90 - a + \varphi =\]

\[= 180{^\circ}.\]

\[Значит,\ около\ него\ можно\ \]

\[описать\ окружность.\]

\[8)\ Обратно,\ пусть\ ABCD -\]

\[вписанный\ четырехугольник.\]

\[В\ \mathrm{\Delta}MNB:\ \ \ \]

\[180{^\circ} - \angle ABC = \angle BMN + \angle MNB;\]

\[= 180{^\circ} - a - \varphi - (\angle BMN + \angle MNB) =\]

\[180{^\circ} - a - \varphi - (180{^\circ} - \angle ABC) =\]

\[= \angle ABC - a - \varphi.\]

\[9)\ \angle ABC = 2\varphi + \angle BCN\ \]

\[\left( как\ внешний\ угол\ у\ \mathrm{\Delta}\text{BNC} \right);\]

\[\angle ABC = 2a + \angle BAM\ \]

\[\left( как\ внешний\ угол\ у\ \mathrm{\Delta}\text{MBA} \right);\]

\[\angle BCN + \angle BAM = 180{^\circ}\ \]

\[Значит:\ \ \]

\[2\angle ABC = 2\varphi + 2a + 180{^\circ}\]

\[\angle ABC = \varphi + a + 90{^\circ}.\]

\[10)\ Таким\ образом:\]

\[\angle MON = \varphi + a + 90{^\circ} - \varphi - a =\]

\[= 90{^\circ}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать\text{.\ }\]

Скачать ответ
Есть ошибка? Сообщи нам!

Решебники по другим предметам