Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
Русский
История
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаГДЗ по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 841
841
\[\boxed{\mathbf{841.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]
\[Дано:\ \ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \ \ \]
\[AL,CK,BN - медианы\text{.\ }\]
\[Доказать:\text{\ \ }\]
\[из\ медиан\ можно\ построить\ \]
\[треугольник.\]
\[Найти:\ \ \]
\[S_{\text{KLN}}\ :\ S_{\text{ABC}}.\]
\[Решение.\]
\[1)\ Достроим\ медиану\ \text{BN\ }до\ \]
\[пересечения\ с\ \text{TC\ }в\ точке\ T,\ \]
\[при\ этом\ MN = NT.\]
\[Пусть\ точка\ M - пересечение\ \]
\[медиан.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}ANM = \mathrm{\Delta}CNT - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[MN = NT;\]
\[\angle ANM = \angle CNT\ \]
\[(как\ вертикальные);\]
\[AN = NC\ (BN - медиана).\]
\[Отсюда:\ \]
\[TC = AM.\]
\[3)\ Точкой\ пересечения\ \]
\[медианы\ треугольника\ \]
\[делятся\ в\ отношении\]
\[2\ :1\ от\ вершины:\ \ \]
\[\frac{\text{BM}}{\text{MN}} = \frac{\text{CM}}{\text{MK}} = \frac{\text{AM}}{\text{AL}} = 2.\]
\[4)\ В\ \mathrm{\Delta}\text{CMT\ }стороны\ равны:\ \frac{2}{3}a,\ \ \ \]
\[\frac{2}{3}b\ и\frac{2}{3}c,\ где\ a,b\ и\ c - медианы\ \]
\[из\ точек\ A,B\ и\ C\ \]
\[соответственно.\]
\[Следовательно,\ из\ медиан\ \]
\[\mathrm{\Delta}\text{ABC\ }можно\ составить\ \]
\[треугольник,который\ будет\ \]
\[подообен\ \mathrm{\Delta}\text{CMT\ }с\ \]
\[коэффициентом\ подобия\]
\[\ k = \frac{3}{2}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[5)\ \ MN = NT:\ \]
\[CN - медиана\ в\ \mathrm{\Delta}CMT;\]
\[S_{\text{CMT}} = 2S_{\text{CNM}}.\]
\[6)\ CM\ делит\ \text{BN\ }в\ отношении\ \]
\[2\ :1:\]
\[S_{\text{MBC}} = 2S_{\text{CNM}};\]
\[S_{\text{BNC}} = 3S_{\text{CNM}}.\]
\[7)\ BN - медиана\ \mathrm{\Delta}ABC:\]
\[S_{\text{ABC}} = 2S_{\text{BCN}} = 6S_{\text{CNM}} = 3S_{\text{CMT}}.\]
\[8)\ Треугольники\ \text{CMT\ }и\ \]
\[треугольник\ составленный\ из\ \]
\[медиан\ подобны\ и\ \]
\[коэффициент\ подобия\ k = \frac{3}{2}:\ \]
\[\frac{S_{\text{KLN}}}{S_{\text{ABC}}} = \frac{S_{\text{CMT}} \bullet k^{2}}{S_{\text{ABC}}} = \frac{1}{3} \bullet \frac{9}{4} = \frac{3}{4}.\]
\[Ответ:\ \ 3\ :4.\]
