ГДЗ по геометрии 7 класс Атанасян Задание 1072

\[\boxed{\mathbf{1072.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[MNPQ - ромб;\]

\[MF - биссектрисса;\]

\[\angle NMQ = 4\alpha;\]

\[FQ = a.\]

\[\mathbf{Найти:}\]

\[S_{\text{MNPQ}} - ?\]

\[\mathbf{Решение.}\]

\[1)\ \angle M = 4\alpha\]

\[\angle FMQ = \angle FMP = \alpha\]

\[\angle\text{QMP} =\]

\[= 2\alpha\ (по\ свойству\ ромба).\]

\[2)\ \angle MQP = 180{^\circ} - 4\alpha\ \]

\[(так\ как\ \mathrm{\Delta}MQP - равнобедренный).\]

\[3)\ По\ теореме\ синусов:\]

\[\frac{\text{FQ}}{\sin{\angle FMQ}} = \frac{\text{MF}}{\sin{\angle MQF}}\]

\[\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{\text{MF}}{\sin{4\alpha}}\]

\[MF = \frac{a \bullet \sin{4\alpha}}{\sin\alpha}.\]

\[4)\ По\ теореме\ синусов:\]

\[\frac{\text{MF}}{\sin{\angle MPQ}} = \frac{\text{FP}}{\sin{\angle PMF}}\]

\[\frac{\text{MF}}{\sin{2\alpha}} = \frac{\text{FP}}{\sin\alpha}\]

\[FP = \frac{MF \bullet \sin\alpha}{\sin{2\alpha}}\]

\[FP = \frac{a \bullet \sin{4\alpha}}{\sin\alpha} \bullet \sin\alpha \bullet \frac{1}{\sin{2\alpha}} =\]

\[= \frac{a \bullet \sin{4\alpha}}{\sin{2\alpha}} = 2a \bullet \cos{2\alpha}.\]

\[5)\ PQ = PF + FQ =\]

\[a + 2a \bullet \cos{2\alpha} = a\left( 1 + 2\cos{2\alpha} \right).\]

\[6)\ S_{\text{MNPQ}} = NP \bullet PQ \bullet \sin{\angle P} =\]

\[= PQ^{2} \bullet \sin{4\alpha};\]

\[S_{\text{MNPQ}} =\]

\[= a^{2}\left( 1 + 4\cos{2\alpha} + 4\cos^{2}{2\alpha} \right) \bullet \sin{4\alpha}.\]

\[Ответ:\ \]

\[a^{2}\left( 1 + 4\cos{2\alpha} + 4\cos^{2}{2\alpha} \right) \bullet \sin{4\alpha}.\]