ГДЗ по геометрии 7 класс Атанасян Задание 1075

\[\boxed{\mathbf{1075.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AC = b;\]

\[c = AB;\ \]

\[AD - биссектрисса;\]

\[AM - медиана.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[\textbf{а)}\ AD = \frac{2bc}{b + c}\sqrt{\frac{1 + \cos{\angle A}}{2};}\]

\[\textbf{б)}\ AM =\]

\[= \frac{1}{2}\sqrt{b^{2} + c^{2} + 2bc \bullet \cos{\angle A}}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[\textbf{а)}\ AD - биссектрисса \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \frac{\text{BD}}{\text{DC}} = \frac{c}{b}:\]

\[\left( 1 + \frac{c}{b} \right)^{2}AD^{2} =\]

\[= \left( \frac{c}{b} \right)^{2}b^{2} + 2bc \bullet \frac{c}{b}\cos{\angle A} + c^{2}\]

\[(b + c)^{2}AD^{2} =\]

\[= 2c^{2}b^{2} + 2c^{2}b^{2} \bullet \cos{\angle A}\]

\[AD = \sqrt{(\frac{2b^{2}c^{2}\left( 1 + \cos{\angle A} \right)}{(b + c)^{2}}}\]

\[AD = \frac{2bc}{b + c}\sqrt{\frac{1 + \cos{\angle A}}{2}}\text{\ .}\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{б)}\ AM - медиана \Longrightarrow \frac{\text{BM}}{\text{MC}} = 1:\]

\[2^{2}AM^{2} = b^{2} + 2bc \bullet \cos{\angle A} + c^{2}\]

\[AM = \frac{1}{2}\sqrt{b^{2} + c^{2} + 2bc \bullet \cos{\angle A}}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]