\[\boxed{\mathbf{1099.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[A_{1}A_{2}A_{3}\ldots A_{8} - правильный\ \]
\[восьмиугольник;\]
\[R - радиус\ описанной\ \]
\[окружности.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[A_{3}A_{4}A_{7}A_{8} - прямоугольник.\]
\[Выразить:\]
\[S_{A_{3}A_{4}A_{7}A_{8}} - через\ \text{R.}\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ \cup A_{1}A_{2} = \cup A_{2}A_{3} = \cup A_{3}A_{4} =\]
\[= \ldots = \cup A_{8}A_{1} = \frac{360{^\circ}}{8} = 45{^\circ}.\]
\[2)\ \cup A_{7}A_{1}A_{3} =\]
\[= \cup A_{7}A_{8} + \cup A_{8}A_{1} + \cup A_{1}A_{2} + \cup A_{2}A_{3} =\]
\[= 180{^\circ}:\]
\[\angle A_{3}OA_{7} = 180{^\circ}.\]
\[A_{3}A_{7} - диаметр \Longrightarrow A_{3}O =\]
\[= A_{7}O = R.\]
\[3)\ A_{3}A_{7}\ и\ A_{4}A_{8}\ равны\ \]
\[диаметру:\]
\[A_{3}A_{4}A_{7}A_{8} - прямоугольник\ \]
\[(по\ признаку\ прямоугольника)\text{.\ }\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[4)\ S = \frac{1}{2} \bullet A_{3}A_{7} \bullet A_{4}A_{8} \bullet \sin\alpha =\]
\[= \frac{1}{2} \bullet 2R \bullet 2R \bullet \sin\alpha.\]
\[5)\ \angle A_{8}OA_{7} = \cup A_{8}A_{7} = 45{^\circ}.\]
\[6)\ S = \frac{1}{2} \bullet 2R \bullet 2R \bullet \sin{45{^\circ}} =\]
\[= 2R^{2} \bullet \frac{\sqrt{2}}{2} = R^{2}\sqrt{2}.\]
\[\mathbf{Ответ:}S = R^{2}\sqrt{2}.\]