\[\boxed{\mathbf{338.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Дано:\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[AB - наибольшая\ сторона.\]
\[Доказать:\]
\[DE < AB.\]
\[Доказательство.\]
\[Рассмотрим\ два\ возможных\ \]
\[случая\ расположения\ отрезка\ \]
\[\text{DE.}\]
\[\textbf{а)}\ Один\ из\ концов\ отрезка\ \]
\[лежит\ на\ наибольшей\ стороне\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC:\]
\[если\ отрезок\ соединяет\ \]
\[вершину\ треугольника\ с\ \]
\[точкой,\ лежащей\ на\ \]
\[противоположной\ стороне,\ то\ \]
\[этот\ отрезок\ меньше\ большей\]
\[из\ двух\ других\ сторон\ \]
\[(задача\ 312).\]
\[Следовательно:\ \ \ \ AE < AB.\]
\[Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}AEB:\]
\[DE \leq AE\ или\ DE \leq BE,\ \]
\[но\ AE < AB\ и\ BE \leq BC < AB.\]
\[Значит:\ DE < AB.\]
\[\textbf{б)}\ Ни\ один\ из\ концов\ отрезка\ \]
\[\text{DE\ }не\ лежит\ на\ AB:\]
\[AE - отрезок,\ соединяющий\ \]
\[вершину\ \mathrm{\Delta}\text{ABC\ }с\ точкой,\ \]
\[лежащей\ на\ противоположной\ \]
\[стороне,\ тогда\ AE < AB.\]
\[Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}ACE:\]
\[DE \leq AE\ или\ DE \leq CE,\ \]
\[но\ AE < AB\ и\ CE \leq BC < AB.\]
\[Значит:\ \ \ DE < AB.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]