\[\boxed{\mathbf{355.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[Построить:\]
\[точку\ M \in a\ и\ \]
\[AM + MB < AX + XB,\ \]
\[где\ X - любая\ точка\ отличная\ \]
\[от\ \text{M.}\]
\[Построение.\]
\[1)\ Через\ точку\ \text{A\ }опустим\ \]
\[перпендикуляр\ на\ прямую\ a,\ \]
\[на\ пересечении\ отметим\ \]
\[точку\ \text{H.}\]
\[2)\ Построим\ отрезок\ HA^{'} = HA.\]
\[3)\ Построим\ отрезок\ A^{'}B,\ на\ \]
\[пересечении\ данного\ отрезка\ и\]
\[прямой\ \text{a\ }отметим\ точку\ \text{M.}\]
\[4)\ Точка\ M\ равноудалена\ от\ \]
\[\text{A\ }и\ A^{'}.\]
\[Значит:\ \ A^{'}M = AM.\]
\[Отсюда:\]
\[A^{'}B = AM + MB.\]
\[5)\ Отметим\ любую\ точку\ \text{X\ }\]
\[в\ \mathrm{\Delta}A^{'}XB:\]
\[\text{\ A}^{'}B < BX + A^{'}\text{X\ }\]
\[(по\ неравенству\ треугольника).\]