ГДЗ по геометрии 7 класс Атанасян Задание 617

\[\boxed{\mathbf{617.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - ромб;\]

\[M,N,P,Q - середины\ сторон.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[MNPQ - прямоугольник.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}ABC:\]

\[M - середина\ AB;\ \]

\[N - середина\ BC \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow MN - средняя\ линия \Longrightarrow \ \]

\[\Longrightarrow MN \parallel AC\ и\ MN = \frac{1}{2}\text{AC.}\]

\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}ADC:\]

\[P - середина\ DC;\ \]

\[Q - середина\ \text{AD} \Longrightarrow\]

\[PQ - средняя\ линия \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \ PQ \parallel AC\ и\ QP = \frac{1}{2}\text{AC.}\]

\[3)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}ABD:\]

\[M - середина\ AB;\]

\[Q - середина\ \text{AD} \Longrightarrow\]

\[MQ - средняя\ линия \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow MQ \parallel BD\ и\ MQ = \frac{1}{2}\text{BD.}\]

\[4)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}BCD:\]

\[N - середина\ BC;\]

\[P - середина\ \text{DC} \Longrightarrow\]

\[NP - средняя\ линия \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow NP \parallel BD\ и\ NP = \frac{1}{2}\text{BD.}\]

\[5)\ MN \parallel AC\ и\ PQ \parallel AC:\]

\[\ MN \parallel PQ\ и\ MN = PQ.\]

\[6)\ MQ \parallel BD\ и\ NP \parallel BD:\]

\[MQ \parallel NP\ и\ MQ = NP.\]

\[7)\ ABCD - ромб:\ \]

\[BD\bot AC\ (по\ свойству);\]

\[MN\bot MQ.\]

\[8)\ MN \parallel PQ\ и\ MQ \parallel NP:\]

\[MNPQ - параллелограмм;\]

\[MN\bot PQ \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \ MNPQ - прямоугольник.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]