\[\boxed{\mathbf{619.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[AD - биссектриса;\]
\[AD \cap BC = D.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\frac{\text{BD}}{\text{AB}} = \frac{\text{DC}}{\text{AC}}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ В\ \mathrm{\Delta}\text{ADB\ }и\ \mathrm{\Delta}ADC;\ \]
\[AH - общая\ высота:\]
\[\frac{S_{\text{ADB}}}{S_{\text{ADC}}} = \frac{BD \bullet AH}{CD \bullet AH} = \frac{\text{BD}}{\text{CD}};\]
\[то\ есть\ площади\ относятся,\ \]
\[как\ основания\ треугольников.\]
\[2)\ S_{\text{ABD}} = \frac{1}{2}DM \bullet AB;\ \ \ \]
\[S_{\text{ACD}} = \frac{1}{2}DK \bullet AC.\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}DKA = \mathrm{\Delta}DAM - по\ \]
\[гипотенузе\ и\ острому\ углу:\]
\[DA - общая\ сторона;\]
\[\angle DAK = \angle DAM\ \]
\[(так\ как\ AD - биссектриса).\]
\[Отсюда:\ \]
\[DM = DK.\]
\[4)\ S_{\text{ABD}} = \frac{1}{2}DM \bullet AB;\ \]
\[S_{\text{ACD}} = \frac{1}{2}DK \bullet AC;\ \ \ \]
\[DM = DK.\]
\[Отсюда:\]
\[\frac{S_{\text{ABD}}}{S_{\text{ACD}}} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}.\]
\[5)\frac{S_{\text{ABD}}}{S_{\text{ACD}}} = \frac{\text{BD}}{\text{CD}} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}} \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \frac{\text{BD}}{\text{AB}} = \frac{\text{DC}}{\text{AC}}\ \]
\[(по\ свойству\ пропорции).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]