\[\boxed{\mathbf{801.}\mathbf{ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\mathbf{\ задачи:}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\overrightarrow{x}\ и\ \overrightarrow{y}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\left| \overrightarrow{x} \right| - \left| \overrightarrow{y} \right| \leq |\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}| \leq \left| \overrightarrow{x} \right| + \left| \overrightarrow{y} \right|.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Допустим,\ что\ \overrightarrow{x}\ \ и\ \ \overrightarrow{y}\ \]
\[неколлинеарные\ векторы.\]
\[По\ правилу\ треугольника:\ \]
\[AB = \left| \overrightarrow{x} \right|;\ \ \ BC = \left| \overrightarrow{y} \right|;\ \ \]
\[AC = \left| \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} \right|.\]
\[AB;BC\ и\ AC - стороны\ \mathrm{\Delta}ABC.\text{\ \ }\]
\[По\ свойству\ неравенства\ \]
\[треугольника:\ \]
\[AC < AB + BC.\]
\[Следовательно:\]
\[\left| \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} \right| < \left| \overrightarrow{x} \right| + \left| \overrightarrow{y} \right|\]
\[По\ свойству\ неравенства\ \]
\[треугольника:\]
\[AB < AC + BC\text{.\ }\]
\[\left| \overrightarrow{x} \right| < \left| \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} \right| + |\overrightarrow{y}|\]
\[\left| \overrightarrow{x} \right| - \left| \overrightarrow{y} \right| < \left| \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} \right|.\]
\[2)\ Допустим,\ что\ \ \overrightarrow{x}\ \ и\ \ \overrightarrow{y}\ \]
\[коллинеарные\ векторы.\ \]
\[\textbf{а)}\ \overrightarrow{x} \nearrow \nearrow \overrightarrow{y};\]
\[\left| \overrightarrow{x} \right| + \left| \overrightarrow{y} \right| = \left| \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} \right|\text{.\ }\]
\[\textbf{б)}\ \overrightarrow{x} \swarrow \nearrow \overrightarrow{y};\]
\[\left| \overrightarrow{x} \right| - \left| \overrightarrow{y} \right| \leq \left| \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} \right| \leq \overrightarrow{x}|\overrightarrow{+ \left| \overrightarrow{y} \right|}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]