\[\boxed{\mathbf{879.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[Окружность\ (O;R);\]
\[\cup AB_{1} = \cup B_{1}B = \frac{1}{2} \cup AB;\]
\[\cup AC_{1} = \cup C_{1}C = \frac{1}{2} \cup AC;\]
\[AB \cap B_{1}C_{1} = M;\]
\[AC \cap B_{1}C_{1} = N.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[AM = AN.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \cup AB_{1} = \cup B_{1}B = \frac{1}{2} \cup AB:\]
\[\angle B_{1}AB = \angle B_{1}BA = \angle B_{1}C_{1}\text{A.}\]
\[2)\ \cup AC_{1} = \cup C_{1}C = \frac{1}{2} \cup AC:\]
\[\angle C_{1}AC = \angle C_{1}CA = \angle C_{1}B_{1}\text{A.}\]
\[3)\ \angle AB_{1}M = \angle C_{1}\text{AN\ }и\ \]
\[\angle B_{1}AM = \angle AC_{1}N:\]
\[\angle AMB_{1} = \angle ANC_{1}.\]
\[4)\ \angle AMN = 180{^\circ} - AMB_{1}\ и\ \]
\[\angle ANM = 180{^\circ} - ANC_{1}:\]
\[\angle AMN = \angle ANM;\]
\[\mathrm{\Delta}AMN - равнобедренный \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow AM = AN.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]