ГДЗ по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 107

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[ABCD - параллелограмм;\]

\[AM = MB;\]

\[BN = NC;\]

\[CK = KD;\]

\[AP = PD.\]

\[Доказать:\]

\[EFGH - параллелограмм.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ ABCD - параллелограмм:\]

\[AB = CD;\ \ \ \]

\[BC = AD;\]

\[\angle A = \angle C;\]

\[\angle B = \angle D.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}KCB = \mathrm{\Delta}MAD - по\ первому\ \]

\[признаку:\]

\[MA = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = KC;\]

\[\angle MAD = \angle KCB.\]

\[Отсюда:\]

\[MD = BK.\]

\[3)\ MBKD - четырехугольник:\]

\[MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = KD;\]

\[MD = BK.\]

\[Значит:\]

\[MBKD - параллелограмм.\]

\[Отсюда:\]

\[MD \parallel BK.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}ABN = \mathrm{\Delta}CDP - по\ первому\ \]

\[признаку:\]

\[BN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AD = DP;\]

\[\angle ABN = \angle CDP.\]

\[Отсюда:\]

\[AN = CP.\]

\[5)\ ANCP - четырехугольник:\]

\[AP = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC = NC;\]

\[AN = CP.\]

\[Значит:\]

\[ANCP - параллелограмм.\]

\[Отсюда:\]

\[AN \parallel CP.\]

\[6)\ EFGH - четырехугольник:\]

\[EH \parallel FG;\ \ \]

\[EF \parallel GH.\]

\[Значит:\]

\[EFGH - параллелограмм.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]