ГДЗ по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 129

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[ABCD - параллелограмм;\]

\[AA^{'} - биссектриса\ \angle A;\]

\[BB^{'} - биссектриса\ \angle B;\]

\[CC^{'} - биссектриса\ \angle C;\]

\[DD^{'} - биссектриса\ \angle D.\]

\[Доказать:\]

\[EMKN - прямоугольник.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ ABCD - параллелограмм:\]

\[\angle A + \angle B = 180{^\circ};\]

\[\angle C + \angle D = 180{^\circ};\]

\[\angle A + \angle D = 180{^\circ}.\]

\[2)\ В\ \mathrm{\Delta}ABE:\]

\[\angle BAE + \angle ABE + \angle AEB = 180{^\circ}\]

\[\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B + \angle AEB = 180{^\circ}\]

\[\angle A + \angle B + 2\angle AEB = 360{^\circ}\]

\[180{^\circ} + 2\angle AEB = 360{^\circ}\]

\[2\angle AEB = 180{^\circ}\ \ \]

\[\angle AEB = 90{^\circ}.\]

\[3)\ В\ \mathrm{\Delta}CKD:\]

\[\angle KCD + \angle CDK + \angle CKD = 180{^\circ}\]

\[\frac{1}{2}\angle C + \frac{1}{2}\angle D + \angle CKD = 180{^\circ}\]

\[\angle C + \angle D + 2\angle CKD = 360{^\circ}\]

\[180{^\circ} + 2\angle CKD = 360{^\circ}\]

\[2\angle CKD = 180{^\circ}\ \ \ \]

\[\angle CKD = 90{^\circ}.\]

\[4)\ В\ \mathrm{\Delta}AMD:\]

\[\angle MAD + \angle MDA + \angle AMD = 180{^\circ}\]

\[\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle D + \angle AMD = 180{^\circ}\]

\[\angle A + \angle D + 2\angle AMD = 360{^\circ}\]

\[180{^\circ} + 2\angle AMD = 360{^\circ}\]

\[2\angle AMD = 180{^\circ}\ \ \]

\[\angle AMD = 90{^\circ}.\]

\[5)\ EMKN - четырехугольник:\]

\[\angle E + \angle M + \angle K + \angle N = 360{^\circ}\]

\[90{^\circ} + 90{^\circ} + 90{^\circ} + \angle N = 360{^\circ}\]

\[\angle N = \angle E = \angle M = \angle K = 90{^\circ}.\]

\[Следовательно:\]

\[EMKN - прямоугольник.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]