ГДЗ по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 358

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[MA - биссектриса\ \angle M;\]

\[KB - биссектриса\ \angle K;\]

\[A,\ N,\ B,\ O - окружность.\]

\[Найти:\]

\[\angle N.\]

\[Решение.\]

\[1)\ NBOA - четырехугольник:\]

\[\angle BNA + \angle BOA = 180{^\circ};\]

\[\angle BOA = 180{^\circ} - \angle N.\]

\[2)\ В\ \mathrm{\Delta}MNK:\]

\[\angle M + \angle N + \angle K = 180{^\circ};\]

\[\angle M + \angle K = 180{^\circ} - \angle N.\]

\[3)\ В\ \mathrm{\Delta}MOK:\]

\[\angle MOK + \angle OMK + \angle OKM = 180{^\circ}\]

\[\angle MOK + \frac{1}{2}\angle M + \frac{1}{2}\angle K = 180{^\circ}\]

\[2\angle MOK + \angle M + \angle K = 360{^\circ}\]

\[2\angle MOK + 180{^\circ} - \angle N = 360{^\circ}\]

\[2\angle MOK = 180{^\circ} + \angle N\]

\[\angle MOK = 90{^\circ} + \frac{1}{2}\angle N.\]

\[4)\ Вертикальные\ углы:\]

\[\angle BOA = \angle MOK;\]

\[180{^\circ} - \angle N = 90{^\circ} + \frac{1}{2}\angle N\]

\[\frac{3}{2}\angle N = 90{^\circ}\ \ \]

\[\angle N = 60{^\circ}.\]

\[Ответ:\ \ 60{^\circ}.\]