ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 1143

\[\boxed{\mathbf{1143.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - прямоугольный;\]

\[CH - высота;\]

\[\mathrm{\Delta}ACH\sim\mathrm{\Delta}CHB;\]

\[C_{1} - длина\ окружности,\]

\[вписанной\ в\ \mathrm{\Delta}ACH;\]

\[C_{2} - длина\ окружности,\]

\[вписанной\ в\ \mathrm{\Delta}\text{CHB.}\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[\frac{C_{1}}{C_{2}} = k.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ \mathrm{\Delta}ABC - прямоугольный:\]

\[CH - высота.\]

\[\ \mathrm{\Delta}AHC\sim\mathrm{\Delta}CHB:\]

\[\left( \frac{\text{AC}}{\text{BC}} \right)^{2} = \frac{S_{\text{AHC}}}{S_{\text{CHB}}} = k^{2},\ \]

\[где\ k - коэффициент\ подобия.\ \]

\[2)\ S_{\text{AHC}} = \frac{1}{2}P_{\text{AHC}} \bullet r_{1};\]

\[где\ r_{1} - радиус\ вписанной\ в\ \]

\[\mathrm{\Delta}\text{AHC}\ окружности.\]

\[3)\ S_{\text{BHC}} = \frac{1}{2}P_{\text{BHC}} \bullet r_{2};\]

\[где\ r_{2} - радиус\ вписанной\ в\ \]

\[\mathrm{\Delta}\text{BHC}\ окружности.\]

\[4)\ k^{2} = \frac{\frac{1}{2} \bullet P_{\text{AHC}} \bullet r_{1}}{\frac{1}{2} \bullet P_{\text{BHC}} \bullet r_{2}} = k \bullet \frac{r_{1}}{r_{2}} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow k = \frac{r_{1}}{r_{2}}.\]

\[5)\ C_{1} = 2\pi r_{1}\ и\ \ C_{2} = 2\pi r_{2},\frac{r_{1}}{r_{2}} = k:\]

\[\frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{2\pi r_{1}}{2\pi r_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} = k.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]