ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 1175

\[\boxed{\mathbf{1175.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[Дано:\]

\[a;\ \]

\[\text{M\ }и\ N\ - лежат\ по\ одну\ сторону\ \]

\[от\ прямой\ \text{a.}\]

\[Доказать:\]

\[существует\ единственная\ \]

\[точка\ X \in a\ такая,\ \]

\[что\ MX + XN - имеет\ \]

\[наименьшее\ значение.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Пусть\ N_{1}\ симметрична\ \text{N\ }\]

\[относительно\ прямой\ \text{a.\ }\]

\[Так\ как\ отрезки\ XN\ и\ XN_{1}\ \]

\[симметричны\ относительно\ \]

\[прямой\ a;\]

\[XN = XN_{1}\text{.\ \ }\]

\[Тогда:\ \]

\[MX + XN = MX + XN_{1}.\]

\[2)\ Если\ точка\ \text{X\ }не\ лежит\ на\ \]

\[прямой\ MN_{1} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \ MX + XN_{1} > MN_{1}.\]

\[Если\ точка\ \text{X\ }лежит\ на\ прямой\ \]

\[MN_{1}\ \]

\[\left( а\ значит\ и\ на\ отрезке\ MN_{1} \right) \Longrightarrow \ \]

\[MX + XN_{1} = MN_{1}\text{.\ }\]

\[Следовательно:\]

\[сумма\ MX + XN_{1}\ и\ равная\ ей\ \]

\[MX + XN\ принимают\ \]

\[наименьшее\ значение,\ только\ \]

\[если\ точка\ \text{X\ }является\ точкой\ \]

\[пересечения\ \text{a\ }и\ MN_{1}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]