ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 1274

\[\boxed{\mathbf{1274.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[Дано:\]

\[окружность\ O(O,\ R);\]

\[ABCD - вписанный\ \]

\[четырехугольник;\]

\[AB = a;\]

\[BC = b;\ \]

\[CD = c;\ \]

\[AD = d.\]

\[Доказать:\]

\[S =\]

\[= \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ По\ свойству\ вписанного\ \]

\[четырехугольника:\ \]

\[\angle A + \angle C = 180{^\circ};\]

\[\angle B + \angle D = 180{^\circ}.\]

\[2)\ По\ теореме\ косинусов\ для\ \]

\[диагонали\ BD:\]

\[BD^{2} = a^{2} + d^{2} - 2ad\cos A;\]

\[BD^{2} = b^{2} + c^{2} - 2b\ cosA =\]

\[= b^{2} + c^{2} + 2bc\cos A.\]

\[a^{2} + d^{2} - 2ad\ cosA =\]

\[= b^{2} + c^{2} + 2bc\ cosA\]

\[2(ad + bc)cosA =\]

\[= a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}\]

\[cosA = \frac{a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{2(ad + bc)}.\]

\[4)\ \ P = a + b + c + d;\ \ p = \frac{P}{2}.\]

\[sinA =\]

\[= \sqrt{\frac{4(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}{(ad + bc)^{2}}} =\]

\[= \frac{2\sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}}{ad + bc}.\]

\[5)\ Площадь\ ABCD:\]

\[S = S_{\mathrm{\Delta}BAD} + S_{\mathrm{\Delta}BCD} =\]

\[= \frac{1}{2}ad\ sinA + \frac{1}{2}\text{bc}\underset{= sinA}{\overset{\text{sinC}}{︸}} =\]

\[= \frac{1}{2}(ad + bc)sinA =\]

\[Следовательно:\]

\[S =\]

\[= \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]