ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 1294

\[\boxed{\mathbf{1294.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[Дано:\]

\[ABCD\ и\ A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} - трапеции;\ \]

\[AD||BC;\]

\[\ AD > BC;\]

\[A_{1}D_{1}||B_{1}C_{1}D_{1} > B_{1}C_{1};\]

\[AB = A_{1}B_{1}BC = B_{1}C_{1};\ \]

\[CD = C_{1}D_{1};\ \]

\[AD = A_{1}D_{1}.\]

\[Доказать:\]

\[ABCD = A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Проведем\ отрезки\ \]

\[\text{CE}\left| \left| AB,\ E \in AD,\ C_{1}E_{1} \right| \right|A_{1}B_{1},\ E_{1} \in A_{1}D_{1}.\]

\[2)\ По\ построению:\ \]

\[\text{ABCE\ }и\ A_{1}B_{1}C_{1}E_{1} -\]

\[параллелограммы.\]

\[AB = CE = A_{1}B_{1} = C_{1}E_{1};\ \ \]

\[BC = AE = B_{1}C_{1} = A_{1}E_{1}.\]

\[\mathrm{\Delta}ECD = \mathrm{\Delta}E_{1}C_{1}D_{1} - по\ третьему\ \]

\[признаку:\]

\[CE = C_{1}E_{1};\]

\[CD = C_{1}D_{1};\]

\[ED = AD - AE =\]

\[= A_{1}D_{1} - A_{1}E_{1} = E_{1}D_{1}.\]

\[Существует\ наложение\ f:\]

\[\mathrm{\Delta}ECD\overset{f}{\rightarrow}\mathrm{\Delta}E_{1}C_{1}D_{1}.\]

\[3)\ Совместим\ эти\ \]

\[треугольники.\ Для\ двух\ пар\ \]

\[вершин\ получим:\]

\[C\overset{f}{\rightarrow}C_{1};\ \ \]

\[D\overset{f}{\rightarrow}D_{1}.\]

\[Совместятся\ отрезки\ \text{AD\ }и\ \]

\[A_{1}D_{1},\ как\ продолжения\ \]

\[сторон\ \text{ED\ }и\ E_{1}D_{1}.\]

\[Совместятся\ точки:\ \]

\[A\overset{f}{\rightarrow}A_{1}.\]

\[4)\ Через\ точку\ A\ можно\ \]

\[провести\ только\ одну\ прямую,\ \]

\[параллельную\ \text{CE.}\]

\[Через\ точку\ C - только\ одну\ \]

\[прямую\ ,\ параллельную\text{\ AD.}\]

\[Точка\ пересечения:\ \]

\[B = AB \cap CB.\]

\[5)\ Аналогично\ во\ второй\ \]

\[трапеции.\ \]

\[Значит,\ совместятся\ \]

\[точки\ B\overset{f}{\rightarrow}B_{1}.\]

\[При\ наложении\ совместились\ \]

\[все\ четыре\ вершины:\]

\[\text{ABCD}\overset{f}{\rightarrow}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1};\]

\[ABCD = A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]