\[\boxed{\mathbf{175.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\ 97.\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[OA = OB;\]
\[AC = BD;\]
\[\text{AD} \cap \text{BC} = E.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\text{OE} - биссектриса.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}AOD = \mathrm{\Delta}BOC - \ по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[\angle O - общий;\]
\[OA = OB\ (по\ условию);\]
\[OD = OC\ \]
\[(\ OD = DB + BO;OC = AC + AO);\]
\[Значит:\ \]
\[\angle ODA = \angle BCO;\ \ \]
\[\angle DAO = \angle CBO.\]
\[2)\ \angle DAC = \angle DBC,\ потому\ что:\]
\[\angle DAC + \angle DAO =\]
\[= 180{^\circ}\ (смежные\ углы);\]
\[\angle DBC + \angle CBO =\]
\[= 180{^\circ}\ (смежные\ углы);\]
\[\angle DAO = \angle CBO\ (см.\ пункт\ 1).\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}DBE = \mathrm{\Delta}AEC - \ по\ стороне\ \]
\[и\ двум\ прилегающим\ углам:\]
\[DB = AC\ (по\ условию);\]
\[\angle DAC = \angle DBC;\ \ \]
\[\angle ODA = \angle BCO.\]
\[Следовательно:\ \]
\[BE = EA.\]
\[4)\ \mathrm{\Delta}BOE = \mathrm{\Delta}AOE - \ по\ трем\ \]
\[сторонам:\ \]
\[OE - общая;\]
\[BO = OA;\ \ \]
\[BE = EA.\]
\[Отсюда:\ \]
\[\angle BOE = \angle AOE;\]
\[OE - биссектриса.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]