ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 345

\[\boxed{\mathbf{345.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AE - биссектриса;\]

\[MH\bot AE;\]

\[BH\bot MH.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[P_{\text{BCH}} = P_{\text{ABC}}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Продолжим\ отрезок\ \text{BA\ }до\ \]

\[отрезка\ AD = AC.\]

\[2)\ \angle 1 = \angle 2\ \]

\[(так\ как\ AE - биссектриса);\]

\[3)\ \angle 3 = 90{^\circ} - \angle 2\ \ и\ \]

\[\angle 4 = 90{^\circ} - \angle 1\ \]

\[(так\ как\ MH\bot AE):\]

\[\angle 1 = \angle 2 \Longrightarrow \angle 3 = \angle 4.\]

\[4)\ \angle 3 = \angle 5\ \]

\[(как\ вертикальные):\]

\[\angle 4 = \angle 5;\]

\[\angle DAH = 180{^\circ} - \angle 5;\ \]

\[\angle CAH = 180{^\circ} - \angle 4.\]

\[Получаем:\]

\[\angle DAH = \angle CAH.\]

\[5)\ \mathrm{\Delta}CAH = \mathrm{\Delta}DAH - по\ двум\ \]

\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]

\[AC = AD\ (по\ построению);\ \]

\[AH - общая\ сторона;\]

\[\angle DAH = \angle CAH.\ \]

\[Отсюда:\ \]

\[DH = CH.\]

\[6)\ DH + BH > DB\ \]

\[(по\ неравенству\ треугольника);\]

\[DB = DA + AB =\]

\[= CA + AB\ и\ DH = CH:\]

\[CH + BH > AC + AB.\]

\[7)\ P_{\text{BCH}} =\]

\[= CH + BH + BC\ и\ P_{\text{ABC}} =\]

\[= AB + BC + AC;\]

\[CH + BH > AC + AB.\]

\[Значит:\ P_{\text{BCH}} > P_{\text{ABC}}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]