\[\boxed{\mathbf{500.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}\text{ABC};\]
\[\angle C = 90{^\circ};\]
\[\text{AC} = \text{BC};\]
\[\text{BDEC}\ и\ \text{AOCK} - квадраты.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[S_{\text{BDEC}} = 2S_{\text{AOCK}}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Пусть\ \text{AC} = \text{BC} = a:\]
\[S_{\text{BDEC}} = a^{2}.\]
\[2)\ Рассмотрим\ \]
\[\mathrm{\Delta}\text{BCA} - прямоугольный:\]
\[\text{BC} = \text{AC} \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \mathrm{\Delta}\text{BCA} - равнобедренный;\]
\[\text{CO} - медиана \Longrightarrow \text{AO} = \text{OB};\]
\[AB^{2} = a^{2} + a^{2} = 2a^{2} \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \text{AB} = a\sqrt{2};\]
\[\text{AO} = \text{OB} = \frac{\sqrt{2}}{2}a.\]
\[3)\ AC^{2} = AO^{2} + OC^{2};\]
\[OC^{2} = AC^{2} - AO^{2};\]
\[OC^{2} = a^{2} - \frac{2}{4}a^{2} = \frac{1}{2}a^{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} =\]
\[= \frac{\sqrt{2}}{2}a.\]
\[4)\ S_{\text{AOCK}} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}a \right)^{2} = \frac{2}{4}a^{2} =\]
\[= \frac{1}{2}a^{2}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]