ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 725

\[\boxed{\mathbf{725.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - прямоугольная\ \]

\[трапеция;\]

\[BC = a;\]

\[AD = b.\]

\[\mathbf{Найти:}\]

\[r - ?\]

\[\mathbf{Решение.}\]

\[1)\ Проведем\ высоту\ \text{CH\ }\]

\[(CH = 2r).\]

\[2)\ DH = AD - AH =\]

\[= AD - BC = b - a.\]

\[3)\ По\ свойству\ вписанной\ в\ \]

\[четырехугольник\ окружности:\]

\[CD + BA = BC + AD.\]

\[Отсюда:\]

\[CD = BA + AD - BA =\]

\[= a + b - 2r\ \]

\[(так\ как\ AB = CH).\]

\[4)\ По\ теореме\ Пифагора:\]

\[CD^{2} = CH^{2} + HD^{2}\]

\[(a + b - 2r)^{2} =\]

\[= (2r)^{2} + (b - a)^{2}\]

\[a^{2} + 2ab - 4ra - 4rb + b^{2} + 4r^{2} =\]

\[= 4r^{2} + b^{2} - 2ab + a^{2}\]

\[4ab - 4ra - 4rb = 0\]

\[ab - ra - rb = 0\]

\[- r(a + b) = - ab\]

\[r = \frac{\text{ab}}{a + b}.\]

\[\mathbf{Отве}\mathbf{т}\mathbf{:}r = \frac{\text{ab}}{a + b}.\]