ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 910

\[\boxed{\mathbf{910.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\mathbf{\ задачи:}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[A_{1},B_{1},C_{1} - середины;\]

\[H - точка\ пересечения\ высот;\]

\[G - точка\ пересечения\ медиан.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[G \in OH;\]

\[\frac{\text{HG}}{\text{GO}} = 2.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ По\ правилу\ треугольника:\]

\[\ \overrightarrow{A_{1}O} + \overrightarrow{\text{OG}} = \overrightarrow{A_{1}G}\ и\]

\[\ \overrightarrow{\text{AH}} + \overrightarrow{\text{HG}} = \overrightarrow{\text{AG}}.\]

\[2)\ По\ теореме\ пересечения\ \]

\[медиан\ треугольника:\]

\[\overrightarrow{\text{AG}} = - 2\overrightarrow{A_{1}G} \Longrightarrow \overrightarrow{\text{AH}} + \overrightarrow{\text{HG}} =\]

\[= - 2\overrightarrow{A_{1}O} - 2\overrightarrow{\text{OG}}.\]

\[3)\ Векторы\ \overrightarrow{\text{AH}}\ и\ \overrightarrow{A_{1}O}\ \]

\[коллинеарны:\]

\[существует\ такое\ число\ x,\ \]

\[что\ \overrightarrow{A_{1}O} = x\overrightarrow{\text{AH}}.\]

\[4)\ Отсюда:\ \]

\[\overrightarrow{\text{HG}} + 2\overrightarrow{\text{OG}} = - (2x + 1)\overrightarrow{\text{AH}}.\]

\[5)\ Аналогично:\ \ \]

\[\overrightarrow{\text{HG}} + 2\overrightarrow{\text{OG}} = - (2m + 1)\overrightarrow{\text{BH}};\ \]

\[где\ m - определяется\ из\ \]

\[равенства\ \overrightarrow{B_{1}O} = m\overrightarrow{\text{BH}}.\]

\[6)\ Векторы\ \overrightarrow{\text{AH}}\ и\ \overrightarrow{\text{BH}}\ не\ \]

\[коллинеарны:\]

\[\overrightarrow{\text{HG}} + 2\overrightarrow{\text{OG}} = \overrightarrow{0} \Longrightarrow \overrightarrow{\text{HG}} = - 2\overrightarrow{\text{OG}}.\]

\[7)\ Значит:\ \]

\[G \in OH\ и\frac{\text{HG}}{\text{GO}} = 2.\ \]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]