ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян Задание 914

\[\boxed{\mathbf{914.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[\mathbf{Дано:}\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b} - неколлинеарны\]

\[\textbf{а)}\ Доказать:\ \]

\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} - неколлинеарны.\]

\[Доказательство\ от\ противного:\]

\[Пусть\ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\ и\ \]

\[\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} - коллинеарны,\ тогда\ по\ \]

\[лемме\ о\ коллинеарных\]

\[векторах:\ \]

\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right)\]

\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} - k\overrightarrow{b}\]

\[- \overrightarrow{a} - k\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{b} - k\overrightarrow{b}\]

\[\overrightarrow{a}(1 - k) = \overrightarrow{b}( - 1 - k)\]

\[\overrightarrow{a} = \frac{- 1 - k}{1 - k} \bullet \overrightarrow{b}.\]

\[Но\ такое\ разложение\ \]

\[невозможно,\ так\ как\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}\ по\ \]

\[условию\ неколлинеарны.\]

\[Следовательно:\]

\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\ и\ \]

\[\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} - неколлинеарны.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{б)}\ Доказать:\ \]

\[2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\ и\ \]

\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - неколлинеарны.\]

\[Доказательство\ от\ противного:\]

\[Пусть\ 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\ и\ \]

\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - коллинеарны,\ тогда\ по\ \]

\[лемме\ о\ коллинеарных\]

\[векторах:\ \]

\[2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = k\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)\]

\[2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}\]

\[2\overrightarrow{a} - k\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + k\overrightarrow{b}\]

\[\overrightarrow{a}(2 - k) = \overrightarrow{b}(1 + k)\]

\[\overrightarrow{a} = \frac{1 + k}{2 - k} \bullet \overrightarrow{b}.\]

\[Но\ такое\ разложение\ \]

\[невозможно,\ так\ как\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}\ по\ \]

\[условию\ неколлинеарны.\]

\[Следовательно:\]

\[2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\ и\ \]

\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - неколлинеарны.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{в)}\ Доказать:\ \]

\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\ и\ \]

\[\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - неколлинеарны.\]

\[Доказательство\ от\ противного:\]

\[Пусть\ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\ и\ \]

\[\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - коллинеарны,\ тогда\ \]

\[по\ лемме\ о\ коллинеарных\]

\[векторах:\ \]

\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\left( \overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} \right)\]

\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} + k3\overrightarrow{b}\]

\[\overrightarrow{a} - k\overrightarrow{a} = k3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b}\]

\[\overrightarrow{a}(1 - k) = \overrightarrow{b}(3k - 1)\]

\[\overrightarrow{a} = \frac{3k - 1}{1 - k} \bullet \overrightarrow{b}.\]

\[Но\ такое\ разложение\ \]

\[невозможно,\ так\ как\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}\ по\ \]

\[условию\ неколлинеарны.\]

\[Следовательно:\]

\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\ и\]

\[\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - неколлинеарны.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]