\[\boxed{\mathbf{914.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[\mathbf{Дано:}\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b} - неколлинеарны\]
\[\textbf{а)}\ Доказать:\ \]
\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\ и\ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} - неколлинеарны.\]
\[Доказательство\ от\ противного:\]
\[Пусть\ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\ и\ \]
\[\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} - коллинеарны,\ тогда\ по\ \]
\[лемме\ о\ коллинеарных\]
\[векторах:\ \]
\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right)\]
\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} - k\overrightarrow{b}\]
\[- \overrightarrow{a} - k\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{b} - k\overrightarrow{b}\]
\[\overrightarrow{a}(1 - k) = \overrightarrow{b}( - 1 - k)\]
\[\overrightarrow{a} = \frac{- 1 - k}{1 - k} \bullet \overrightarrow{b}.\]
\[Но\ такое\ разложение\ \]
\[невозможно,\ так\ как\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}\ по\ \]
\[условию\ неколлинеарны.\]
\[Следовательно:\]
\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\ и\ \]
\[\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} - неколлинеарны.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ Доказать:\ \]
\[2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\ и\ \]
\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - неколлинеарны.\]
\[Доказательство\ от\ противного:\]
\[Пусть\ 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\ и\ \]
\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - коллинеарны,\ тогда\ по\ \]
\[лемме\ о\ коллинеарных\]
\[векторах:\ \]
\[2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = k\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)\]
\[2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}\]
\[2\overrightarrow{a} - k\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + k\overrightarrow{b}\]
\[\overrightarrow{a}(2 - k) = \overrightarrow{b}(1 + k)\]
\[\overrightarrow{a} = \frac{1 + k}{2 - k} \bullet \overrightarrow{b}.\]
\[Но\ такое\ разложение\ \]
\[невозможно,\ так\ как\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}\ по\ \]
\[условию\ неколлинеарны.\]
\[Следовательно:\]
\[2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\ и\ \]
\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - неколлинеарны.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{в)}\ Доказать:\ \]
\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\ и\ \]
\[\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - неколлинеарны.\]
\[Доказательство\ от\ противного:\]
\[Пусть\ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\ и\ \]
\[\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - коллинеарны,\ тогда\ \]
\[по\ лемме\ о\ коллинеарных\]
\[векторах:\ \]
\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\left( \overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} \right)\]
\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} + k3\overrightarrow{b}\]
\[\overrightarrow{a} - k\overrightarrow{a} = k3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b}\]
\[\overrightarrow{a}(1 - k) = \overrightarrow{b}(3k - 1)\]
\[\overrightarrow{a} = \frac{3k - 1}{1 - k} \bullet \overrightarrow{b}.\]
\[Но\ такое\ разложение\ \]
\[невозможно,\ так\ как\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}\ по\ \]
\[условию\ неколлинеарны.\]
\[Следовательно:\]
\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\ и\]
\[\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - неколлинеарны.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]