\[\boxed{\mathbf{1140.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[A_{1}A_{2}\ldots A_{n} - правильный\ \]
\[многоугольник;\]
\[окружность\ (O;r) - вписана\ в\ \]
\[многоугольник.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\frac{S_{кр}}{S_{n}} = \frac{C_{окр}}{P_{n}}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Выразим\ площадь\ круга\ и\ \]
\[длину\ окружности:\]
\[S_{кр} = \pi r^{2};\ \]
\[C = 2\pi r.\]
\[2)\ Площадь\ правильного\ \]
\[многоугольника\ равна\ \]
\[половине\ произведения\ его\ \]
\[периметра\ на\ радиус\ \]
\[вписанной\ окружности:\]
\[S_{n} = \frac{1}{2}P_{n} \bullet r.\]
\[3)\ \frac{S_{кр}}{S_{n}} = \frac{\pi r^{2} \bullet 2}{P_{n} \bullet r} = \frac{2\pi R}{P_{n}} = \frac{C}{P_{n}}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]