\[\boxed{\mathbf{1307.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Дано:\]
\[куб\ \text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1};\]
\[AB = a.\]
\[Доказать:\]
\[существует\ сквозное\ отверстие\ \]
\[со\ стороной\ a.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Рассмотрим\ проекцию\ куба\ \]
\[на\ плоскасть,\ \]
\[перпендикулярную\ его\ \]
\[диагонали.\]
\[Получаем\ шестиугольник.\ \]
\[Обозначим\ его\ сторону\ AB = b.\]
\[2)\ По\ теореме\ косинусов\ \]
\[\left( из\ \mathrm{\Delta}ABA_{1} \right):\]
\[A_{1}B^{2} = \left( a\sqrt{2} \right)^{2} =\]
\[= b^{2} + b^{2} - 2b^{2}\cos 120^{0} = 3b^{2}\]
\[b^{2} = \frac{2}{3}a\]
\[b = \frac{\sqrt{6}}{3}\text{a.}\]
\[3)\ Радиус\ окружности,\ \]
\[вписанной\ в\ шистиугольник:\]
\[r = R \cdot cos30^{0} = \frac{\sqrt{6}}{3}a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =\]
\[= \frac{a\sqrt{2}}{2}.\]
\[Это - половина\ диагонали\ \]
\[грани\ куба.\ \ \]
\[Если\ разместить\ квадратное\ \]
\[отверстие\ со\ стороной\ a\ \]
\[параллельно\ стороне\ \]
\[шестиугольника\ проекции,\ как\ \]
\[показано\ на\ рисунке,то\ другой\ \]
\[такой\ же\ куб\ пройдет\ через\ это\ \]
\[отверстие.\]
\[Докажем,\ что\ OC > OB.\]
\[В\ \mathrm{\Delta}AOC:\]
\[OA = \frac{\sqrt{6}}{3}a;\ \]
\[\angle CAO = 90^{0};\]
\[\angle COA = 45^{0};\]
\[\ \angle ACO = 180^{0} - 135^{0} = 35^{0}.\]
\[\frac{\text{OA}}{\sin 35^{0}} = \frac{\text{OC}}{\sin 60^{0}}\]
\[OC = OA\frac{\sin 60^{0}}{\sin 35^{0}} =\]
\[= \frac{\sqrt{6}}{3}a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{\underset{= OB}{\overset{2}{︸}}} \cdot (\frac{1}{\underset{> 1}{\overset{\sin 35^{0}}{︸}}} > OB.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]