ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян Задание 389

\[\boxed{\mathbf{389.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - трапеция;\]

\[\textbf{а)}\ \angle A = \angle D;\]

\[\ \ \ \ \ \angle C = \angle B.\]

\[\textbf{б)}\ AC = BD.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[ABCD - равнобедренная.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[Построим\ из\ точек\ \text{B\ }и\ \text{C\ }\]

\[перпендикуляры\ к\ AD:\ \]

\[\text{\ B}B_{1}\bot AD\ и\ CC_{1}\bot AD.\]

\[BB_{1} = CC_{1} = h - как\ высоты.\]

\[\textbf{а)}\ \]

\[1)\ \text{BC}C_{1}B_{1} - прямоугольник:\]

\[\angle\text{CB}B_{1} = \angle BCC_{1} = 90{^\circ}.\]

\[2)\ \angle ABB_{1} = \angle B - 90{^\circ};\]

\[\angle DCC_{1} = \angle C - 90{^\circ};\]

\[\angle B = \angle C\ (по\ условию).\]

\[Получаем:\]

\[\angle ABB_{1} = \angle DCC_{1}.\]

\[3)\ ⊿BB_{1}A = ⊿CC_{1}D - по\ \]

\[признаку\ равенства\ \]

\[прямоугольных\ треугольников.\ \]

\[4)\ Соответствующие\ элементы\ \]

\[в\ равных\ фигурах\ равны:\ \]

\[AB = CD.\]

\[Следовательно:\]

\[ABCD - равнобедренная\ \]

\[трапеция.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{б)}\ \]

\[1)\ AC = BD\ (по\ условию);\]

\[CC_{1} = BB_{1}\ (как\ высоты).\]

\[Значит:\ \]

\[⊿\text{AC}C_{1} =\]

\[= ⊿DBB_{1}\ (по\ двум\ катетам).\]

\[2)\ Соответствующие\ элементы\ \]

\[в\ равных\ фигурах\ равны:\]

\[AC_{1} = B_{1}\text{D.}\]

\[3)\ AC_{1} = AB_{1} + B_{1}C_{1};\ \ \ \ \ \]

\[B_{1}D = C_{1}D + B_{1}C_{1}:\]

\[AB_{1} = C_{1}\text{D.}\]

\[Значит:\]

\[\mathrm{\Delta}BB_{1}A =\]

\[= \mathrm{\Delta}CC_{1}\text{D\ }(по\ двум\ катетам).\]

\[4)\ Соответствующие\ элементы\ \]

\[в\ равных\ фигурах\ равны:\]

\[AB = CD.\]

\[Следовательно:\]

\[ABCD - равнобедренная\ \]

\[трапеция.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]