\[\boxed{\mathbf{543.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}\text{ABC}\sim\mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1};\]
\[\text{AB}\ :A_{1}B_{1} = k.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\frac{\text{AB}}{A_{1}B_{1}} = \frac{h}{h_{1}}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ По\ теореме\ об\ отношении\ \]
\[площадей\ подобных\ \]
\[треугольников:\]
\[\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}}} = k^{2}.\]
\[2)\frac{\frac{1}{2}\text{AB} \bullet h}{\frac{1}{2} \bullet A_{1}B_{1} \bullet h^{1}} = k^{2}\]
\[\frac{\text{AB}}{A_{1}B_{1}} \bullet \frac{h}{h^{1}} = k^{2}\]
\[k \bullet \frac{h}{h_{1}} = k^{2}\]
\[\frac{h}{h_{1}} = k \Longrightarrow \frac{\text{AB}}{A_{1}B_{1}} = \frac{h}{h_{1}}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]