\[\boxed{\mathbf{569.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[M \in AC;\]
\[N \in BD;\]
\[AM = MC;\]
\[BN = ND.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[1)\ MN \parallel AD;\]
\[2)\ MN = \frac{1}{2}(AD - BC).\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Проведем\ через\ точку\ \text{M\ }\]
\[прямую\ MF:\]
\[MF \parallel AD.\]
\[2)\ AM = MC\ и\ MF \parallel AD:\]
\[CF = FD\ (по\ теореме\ Фалеса).\]
\[3)\ CF = FD\ и\ AM = MC:\]
\[\ MF - средняя\ линия.\]
\[4)\ MF \cap BD = N.\]
\[5)\ CF = FD\ и\ BN = ND:\]
\[NF - средняя\ линия \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow N \in MF.\]
\[6)\ MF - средняя\ линия\ \mathrm{\Delta}ACD:\]
\[\ MF = \frac{1}{2}\text{AD.}\]
\[7)\ NF - средняя\ линия\ \mathrm{\Delta}BCD:\]
\[NF = \frac{1}{2}\text{BC.}\]
\[8)\ MN = MF - NF =\]
\[= \frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AD - BC).\]
\[9)\ MN \in MF\ и\ \]
\[MF \parallel AD \Longrightarrow MN \parallel AD.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]