\[\boxed{\mathbf{866.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Треугольник\ со\ сторонами,\]
\[равными\ медианам,\ в\ самом\]
\[\mathrm{\Delta}\text{ABC.}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[AA_{1},\ BB_{1},\ CC_{1} - медианы;\]
\[\mathrm{\Delta}EFG;\]
\[GE = AA_{1};\]
\[GF = BB_{1} = FE = CC_{1}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\frac{S_{\text{EFG}}}{S_{\text{ABC}}} = \frac{3}{4}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Для\ построения\ проведем\ \]
\[AD \parallel BB_{1}\ и\ \text{BD} \parallel АС.\ \]
\[По\ построению\ \]
\[четырехугольник\ \text{ADB}B_{1}\ - \ \]
\[параллелограмм:\ \]
\[\ \text{AD}\ = \ BB_{1},\]
\[\text{BD}\ = \ AB_{1} = \frac{1}{2}\ AC = \ A_{1}C_{1}.\ \]
\[Точка\ C_{1}\ делит\ диагональ\ \text{AB\ }\]
\[пополам.\ \]
\[Значит,\ она\ делит\ и\ вторую\ \]
\[диагональ\ B_{1}\text{D\ }пополам:\]
\[C_{1}D = \frac{1}{2}B_{1}D = \frac{1}{2}\text{BC.}\]
\[Четырехугольник\ \text{BD}B_{1}C - \ \]
\[параллелограмм:\]
\[\text{BD} \parallel AC\ и\ \text{BD}\ = \ B_{1}C\ = \frac{1}{2}\text{AC.}\]
\[Четырехугольник\ DC_{1}CA_{1} - \ \]
\[параллелограмм:\]
\[\ DC_{1} \parallel A_{1}C,DC_{1}\ = \ A_{1}C \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow DA_{1} = \ CC_{1}.\]
\[\mathrm{\Delta}ADA_{1} - искомый,\]
\[построенный\ на\ медианах\ \]
\[треугольника\ \text{ABC}:\]
\[\text{AD}\ = \ BB_{1};\]
\[DA_{1} = CC_{1},\ \]
\[2)\ Площадь\ \mathrm{\Delta}ADA_{1}:\]
\[S = S_{AC_{1}D} + S_{AC_{1}A_{1}} + S_{A_{1}C_{1}D} =\]
\[= \frac{1}{2}S_{\text{ABD}} + \frac{1}{2}S_{\text{AB}A_{1}} + S_{A_{1}C_{1}B},\]
\[\mathrm{\Delta}ABD = \mathrm{\Delta}AAB_{1},\ в\ котором\ \]
\[основание\ в\ два\ раза\ \]
\[меньше\ основания\ \mathrm{\Delta}\text{ABC},\ а\ \]
\[высота\ та\ же.\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABA_{1}\ также\ имеет\ основание\ \]
\[в\ два\ раза\ меньше,\ чем\ \mathrm{\Delta}ABC,\]
\[\ и\ ту\ же\ высоту.\]
\[У\ \mathrm{\Delta}A_{1}C_{1}B\ в\ два\ раза\ меньше\ \]
\[как\ основание,\ так\ и\ высота.\]
\[3)\ Получаем:\]
\[S =\]
\[= \frac{1}{2}S_{\text{AB}B_{1}} + \frac{1}{2} \bullet \frac{1}{2}S_{\text{ABC}} + \frac{1}{4}S_{\text{ABC}} =\]
\[= \frac{1}{4}S_{\text{ABC}} + \frac{1}{4}S_{\text{ABC}} + \frac{1}{4}S_{\text{ABC}} =\]
\[= \frac{3}{4}S_{\text{ABC}}.\]
\[4)\ По\ построению\ \]
\[\mathrm{\Delta}ADA_{1} = \mathrm{\Delta}EFG - их\ площади\ \]
\[равны:\ \]
\[\frac{S_{\text{EFG}}}{S_{\text{ABC}}} = \frac{S}{S_{\text{ABC}}} = \frac{3}{4}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать:}\]