\[\boxed{\mathbf{892.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[AD \parallel BC;\]
\[\angle A = 90{^\circ}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[S_{\text{ABCD}} = AD \bullet BC.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Отметим\ точки\ касания\ \]
\[окружностью\ сторон\ трапеции:\]
\[E,F,G\ и\ \text{H.}\]
\[2)\ Рассмотрим\ \]
\[четырехугольник\ ABFH:\]
\[OH\bot AD\ и\ OF\bot BC\ и\ O \in FH.\]
\[Следовательно:\]
\[ABFH - прямоугольник \Longrightarrow\]
\[FH = AB = 2r = h;\]
\[\Longrightarrow BF = AH = OE = r.\]
\[3)\ Опустим\ высоту\ CK\bot AD;\]
\[CK^{2} = h^{2} = CD^{2} - KD^{2} =\]
\[= CD^{2} - (AD - BC)^{2}.\]
\[4)\ По\ свойству\ описанного\ \]
\[четырехугольника:\]
\[AD + BC = AB + CD.\]
\[5)\ CD = AD + BC - AB =\]
\[= AD + BC - h;\]
\[h^{2} =\]
\[= (AD + BC - h)^{2} - (AD - BC)^{2};\]
\[2h(AD + BC) =\]
\[= (AD + BC)^{2} - (AD - BC)^{2};\]
\[2h(AD + BC) =\]
\[2h(AD + BC) = 4AD \bullet BC\]
\[h(AD + BC) = 2AD \bullet BC.\]
\[6)\ S_{\text{ABCD}} = \frac{h(AD + BC)}{2} =\]
\[= \frac{2AD \bullet BC}{2} = AD \bullet BC.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]