\[\boxed{\mathbf{907.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Дано:\]
\[A,B\ и\ C - лежат\ на\ одной\ \]
\[прямой;\]
\[O - произвольная\ точка.\]
\[Доказать:\]
\[существуют\ k,l,m \neq 0\ и\ \]
\[k + l + m = 0;\]
\[k\overrightarrow{\text{OA}} + l\overrightarrow{\text{OB}} + m\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{0}.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Разложим\ векторы\ \]
\[\overrightarrow{\text{OA}},\overrightarrow{\text{OB}},\overrightarrow{\text{OC}}\ на\ составляющие\ \]
\[\overrightarrow{OA^{'}},\overrightarrow{OB^{'}},\overrightarrow{OC^{'}},\ \]
\[параллельныепрямой\ \text{AC\ }и\ \]
\[составляющую\ \overrightarrow{\text{OE}},\ \]
\[перпендикулярную\ прямой\ \text{AC.}\]
\[2)\ Введем\ единичные\ \]
\[вектор\ \overrightarrow{e},\ параллельный\ \text{AC.}\]
\[3)\ Получаем:\]
\[4)\ Вертикальная\ \]
\[составляющая\ для\ любой\ \]
\[точки\ \text{O\ }равна\ 0,\ если\]
\[k + l + m = 0.\]
\[5)\ Пусть\ k = 1:\]
\[\left\{ \begin{matrix} AE - l \bullet BE + m \bullet EC = 0 \\ 1 + l + m = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ }\]
\[\left\{ \begin{matrix} m(BE + EC) + BE = AE \\ l = - m - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ }\]
\[\left\{ \begin{matrix} m = \frac{\text{AB}}{\text{BC}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ l = - \frac{\text{AB}}{\text{BC}} - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[6)\ Вернемся\ к\ уравнению\ из\ \]
\[пункта\ 3:\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]