ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян Задание 927

\[\boxed{\mathbf{927.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Дано:\]

\[\overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b} - коллинеарны.\]

\[Доказать:\]

\[координаты\ пропорциональны.\]

\[Доказательство.\]

\[Пусть\ \overrightarrow{a}\left\{ x_{1};y_{1} \right\}\ и\ \overrightarrow{b}\left\{ x_{2};y_{2} \right\}:\]

\[\overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b} - коллинеарны\ \]

\[(по\ условию).\]

\[По\ лемме\ о\ коллинеарных\ \]

\[векторах \Longrightarrow \overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}:\ \]

\[\frac{x_{1} = kx_{2}}{y_{1} = ky_{2}} \Longrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = k;\ \]

\[\frac{y_{1}}{y_{2}} = k \Longrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}} = k.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[Обратное\ утверждение:\]

\[если\ координаты\ одного\ \]

\[вектора\ пропорциональны\ \]

\[координатам\ \ другого,\ то\ эти\ \]

\[векторы\ коллинеарны.\]

\[Доказательство.\ \]

\[Пусть\ \overrightarrow{a}\left\{ x_{1};y_{1} \right\}\ и\ \overrightarrow{b}\left\{ x_{2};y_{2} \right\}.\]

\[Координаты\ пропорциональны\ \]

\[по\ условию:\]

\[\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}} = k \Longrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = k;\]

\[\frac{y_{1}}{y_{2}} = k \Longrightarrow \frac{x_{1} = x_{2} \bullet k}{y_{1} = y_{2} \bullet k};\]

\[Значит:\ \]

\[\overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b} - коллинеарны.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]