\[\boxed{\mathbf{547.}\mathbf{\ }}\]
\[1)\ 10\ :\frac{5}{7} = 10 \cdot \frac{7}{5} = 2 \cdot 7 =\]
\[= 14\ \left( \frac{км}{ч} \right) - скорость\ \]
\[царя\ Гвидона.\]
\[2)\ 10 + 14 =\]
\[= 24\ \left( \frac{км}{ч} \right) - скорость\]
\[\ сближения.\]
\[3)\ 108\ :24 = \frac{108}{24} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} =\]
\[= 4,5\ (ч) - после\ выезда\ они\]
\[\ встретятся.\]
\[Ответ:через\ 4,5\ ч.\]