4. [2 балла] Найдите длину отрезка СК в треугольнике на рисунке.

Рассмотрим треугольник АВМ. В нем угол АМВ = 90 градусов. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AM^2 + MB^2$$

Подставим известные значения:

$$7^2 = 5^2 + AM^2$$ $$49 = 25 + AM^2$$ $$AM^2 = 49 - 25$$ $$AM^2 = 24$$ $$AM = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$

Треугольник АВК прямоугольный, значит, можем применить теорему Пифагора:

$$AB^2 = AK^2 + BK^2$$

Подставим известные значения:

$$7^2 = 8^2 + BK^2$$

Выразим ВК:

$$BK^2 = 49 - 64 = -15$$

Получаем, что ВК в квадрате не может быть отрицательным числом. Следовательно, в задаче допущена ошибка в условии.

Предположим, что АВ=10, тогда

$$10^2 = 8^2 + BK^2$$

Выразим ВК:

$$BK^2 = 100 - 64 = 36$$ $$BK = 6$$

Рассмотрим треугольники АВМ и СВК. Они подобны по двум углам (угол В - общий, угол АМВ = углу ВКС = 90 градусов). Составим отношение сторон:

$$\frac{AM}{CK} = \frac{BM}{BK}$$

Выразим СК:

$$CK = \frac{AM \cdot BK}{BM}$$

Подставим известные значения:

$$CK = \frac{2\sqrt{6} \cdot 6}{5} = \frac{12\sqrt{6}}{5} \approx 5.88$$

Ответ: 5.88