3.4 (\frac{1}{5\sqrt{5}})^{x} = \sqrt[3]{5}.

Решим уравнение $$(\frac{1}{5\sqrt{5}})^{x} = \sqrt[3]{5}$$.

Преобразуем левую и правую части уравнения к виду степени с основанием 5:

Левая часть: $$\frac{1}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{5 \cdot 5^{1/2}} = \frac{1}{5^{3/2}} = 5^{-3/2}$$

Правая часть: $$\sqrt[3]{5} = 5^{1/3}$$

Тогда уравнение примет вид:

$$(5^{-3/2})^{x} = 5^{1/3}$$

$$5^{-\frac{3}{2}x} = 5^{\frac{1}{3}}$$

Приравняем показатели степени:

$$-\frac{3}{2}x = \frac{1}{3}$$

$$x = \frac{1}{3} : (-\frac{3}{2})$$

$$x = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{3})$$

$$x = -\frac{2}{9}$$

Ответ: $$\frac{-2}{9}$$