19 \frac{1}{2} : \left(3 \frac{1}{2} - 1 \frac{11}{20}\right) - \frac{111}{200} \cdot \frac{3}{20}

Определим предмет и тему задания. Это математика, тема: вычисления с обыкновенными дробями.

Определим тип задания: вычисление.

Определим, что требуется в качестве результата: значение выражения.

1. Выполним действия в скобках:
   Преобразуем смешанные дроби в неправильные:
   $$3 \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$$,
   $$1 \frac{11}{20} = \frac{1 \cdot 20 + 11}{20} = \frac{31}{20}$$.
   Приведём дроби к общему знаменателю:
   $$\frac{7}{2} - \frac{31}{20} = \frac{7 \cdot 10}{2 \cdot 10} - \frac{31}{20} = \frac{70}{20} - \frac{31}{20} = \frac{70 - 31}{20} = \frac{39}{20}$$.
2. Выполним деление:
   Преобразуем смешанную дробь в неправильную:
   $$19 \frac{1}{2} = \frac{19 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{39}{2}$$.
   $$\frac{39}{2} : \frac{39}{20} = \frac{39}{2} \cdot \frac{20}{39} = \frac{39 \cdot 20}{2 \cdot 39} = \frac{20}{2} = 10$$.
3. Выполним умножение:
   $$\frac{111}{200} \cdot \frac{3}{20} = \frac{111 \cdot 3}{200 \cdot 20} = \frac{333}{4000}$$.
4. Выполним вычитание:
   Приведём к общему знаменателю:
   $$10 - \frac{333}{4000} = \frac{10 \cdot 4000}{4000} - \frac{333}{4000} = \frac{40000}{4000} - \frac{333}{4000} = \frac{40000 - 333}{4000} = \frac{39667}{4000} = 9 \frac{3667}{4000}$$.

Ответ: $$9 \frac{3667}{4000}$$