6) $$ \frac{x}{x-5} + \frac{3x+15}{x^2-25} = 0 $$

$$ \frac{x}{x-5} + \frac{3x+15}{x^2-25} = 0 $$

Разложим знаменатель второй дроби на множители, используя формулу разности квадратов: $$ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $$.

$$ x^2 - 25 = (x-5)(x+5) $$

Теперь уравнение выглядит так: $$ \frac{x}{x-5} + \frac{3x+15}{(x-5)(x+5)} = 0 $$.

Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} + \frac{3x+15}{(x-5)(x+5)} = 0 $$.

Объединим дроби: $$ \frac{x(x+5) + 3x + 15}{(x-5)(x+5)} = 0 $$.

Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{x^2 + 5x + 3x + 15}{(x-5)(x+5)} = 0 $$.

Упростим числитель: $$ \frac{x^2 + 8x + 15}{(x-5)(x+5)} = 0 $$.

Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю: $$ x^2 + 8x + 15 = 0 $$.

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 $$.

Найдем корни: $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$.

$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $$.

Теперь проверим, не обращается ли знаменатель в нуль при этих значениях x.

Если $$ x = -3 $$, то знаменатель $$ (x-5)(x+5) = (-3-5)(-3+5) = (-8)(2) = -16
eq 0 $$.

Если $$ x = -5 $$, то знаменатель $$ (x-5)(x+5) = (-5-5)(-5+5) = (-10)(0) = 0 $$. Значит, $$ x = -5 $$ не является решением.

Окончательный ответ: $$ x = -3 $$.