6) $$\frac{x-3}{x+1} + 1 = \frac{1-x}{x}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{(x-3)x + (x+1)x}{(x+1)x} = \frac{1-x}{x}$$

$$\frac{x^2 - 3x + x^2 + x}{x(x+1)} = \frac{1-x}{x}$$

$$\frac{2x^2 - 2x}{x(x+1)} = \frac{1-x}{x}$$

Упростим, сократив на x (x≠0):

$$\frac{2x - 2}{x+1} = \frac{1-x}{1}$$

Умножим крест-накрест:

$$ 2x - 2 = (1-x)(x+1) $$

$$ 2x - 2 = 1 + x - x - x^2 $$

$$ 2x - 2 = 1 - x^2 $$

Перенесем все в левую часть:

$$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 $$

$$ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$

$$ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$

Проверим, не обращаются ли знаменатели в ноль:

При x=1: x ≠ 0, x+1 = 1+1 = 2 ≠ 0. Значит, x=1 является корнем уравнения.

При x=-3: x ≠ 0, x+1 = -3+1 = -2 ≠ 0. Значит, x=-3 является корнем уравнения.

Ответ: 1; -3