7) $$\int_{0}^{\pi} cos(\frac{x}{2}) dx$$,

Для решения интеграла $$\int_{0}^{\pi} \cos(\frac{x}{2}) dx$$ выполним следующие шаги:

1. Найдем первообразную функции $$\cos(\frac{x}{2})$$.
2. Вычислим определенный интеграл, используя найденную первообразную и пределы интегрирования.

1. Первообразная функции $$\cos(\frac{x}{2})$$:

Первообразная функции $$\cos(kx)$$ равна $$\frac{1}{k} \sin(kx)$$. В нашем случае $$k = \frac{1}{2}$$, следовательно, первообразная равна:

$$ F(x) = \int \cos(\frac{x}{2}) dx = 2 \sin(\frac{x}{2}) + C $$

2. Вычисление определенного интеграла:

Чтобы вычислить определенный интеграл, подставим верхний и нижний пределы интегрирования в первообразную и найдем разность:

$$ \int_{0}^{\pi} \cos(\frac{x}{2}) dx = F(\pi) - F(0) = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) - 2 \sin(\frac{0}{2}) $$

Учитывая, что $$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$$ и $$\sin(0) = 0$$, получаем:

$$ 2 \sin(\frac{\pi}{2}) - 2 \sin(0) = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = 2 - 0 = 2 $$

Таким образом, значение определенного интеграла равно 2.

Ответ:

$$\int_{0}^{\pi} \cos(\frac{x}{2}) dx = 2$$