2) $$\int_{0}^{4} \sqrt{x}dx,$$

Преобразуем подынтегральную функцию, представив корень как степень:

$$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$$

Тогда интеграл принимает вид:

$$\int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} dx$$

Воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции:

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

В нашем случае, $$n = \frac{1}{2}$$, поэтому:

$$\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$$

Теперь вычислим определенный интеграл, используя найденную первообразную:

$$\int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \Big|_0^4 = \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(0^{\frac{3}{2}})$$

Вычислим значение $$4^{\frac{3}{2}}$$:

$$4^{\frac{3}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^3 = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$$

Тогда:

$$\frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(0^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(8) - 0 = \frac{16}{3}$$

Итак, значение определенного интеграла равно:

Ответ:

$$\frac{16}{3}$$