1°. Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть: а) параллельными; б) скрещивающимися? Сделайте рисунок для каждого возможного случая. 2° Через точку O, не лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках $$A_1$$ и $$A_2$$ соответственно, прямая m - в точках $$B_1$$ и $$B_2$$. Найдите длину отрезка $$A_1B_1$$, если $$A_2B_2 = 15$$ см, $$OB_1 : OB_2 = 3 : 5$$. 3. Изобразите тетраэдр DABC и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M и N, являющиеся серединами рёбер DC и BC, и точку K, такую, что $$K \in DA$$, $$AK : KD = 1 : 3$$.

1. * а) Параллельными: Если прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β и при этом параллельны, то линии пересечения плоскостей α и β также будут параллельны прямым a и b. * б) Скрещивающимися: Если прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β и при этом скрещиваются, то они не имеют общих точек и не параллельны. В этом случае прямые a и b могут лежать в разных плоскостях, и линии пересечения плоскостей α и β могут быть любыми. 2. Пусть $$A_1B_1 = x$$. Рассмотрим подобные треугольники $$OB_1A_1$$ и $$OB_2A_2$$. Имеем: $$\frac{OB_1}{OB_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2}$$ Подставим известные значения: $$\frac{3}{5} = \frac{x}{15}$$ Решим уравнение относительно x: $$x = \frac{3 \cdot 15}{5} = 9$$ Таким образом, длина отрезка $$A_1B_1$$ равна 9 см. 3. * Обозначим точки M и N как середины рёбер DC и BC соответственно. * Точка K лежит на ребре DA, причём AK : KD = 1 : 3. * Чтобы построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M, N и K, необходимо: * Соединить точки M и N. Прямая MN лежит в плоскости сечения. * Найти точку пересечения прямой MN и плоскости ABD. Поскольку MN параллельна DB (MN - средняя линия треугольника DBC), то прямая MN лежит в плоскости, параллельной DB и проходящей через точку C. * Соединить точку K с точкой пересечения прямой MN и плоскости ABD. Получим прямую, лежащую в плоскости сечения. Точки пересечения этой прямой с рёбрами тетраэдра будут вершинами искомого сечения. * Определить форму полученного сечения и завершить построение.