747°. У трикутнику ABC кут CAB дорівнює α, кут ACB — β (мал. 244). AD — перпендикуляр до площини трикутника ABC. Доведіть, що DB ⊥ BC, якщо: 1) α = 40°, β = 50°; 2) α = 30°, β = 60°.

Давайте розглянемо цю задачу поетапно. Нам дано трикутник ABC, де кут CAB = α, кут ACB = β. Також, AD перпендикулярний до площини трикутника ABC. Нам потрібно довести, що DB ⊥ BC для двох випадків: 1) α = 40°, β = 50° 2) α = 30°, β = 60° Розв'язання: Для того, щоб довести, що DB ⊥ BC, ми використаємо теорему про три перпендикуляри. Теорема про три перпендикуляри: Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції на цю площину, то вона перпендикулярна і до самої похилої. У нашому випадку: * AD – перпендикуляр до площини ABC. * DB – похила до площини ABC. * AC – проекція DB на площину ABC. Нам потрібно довести, що якщо BC перпендикулярна до проекції, то BC перпендикулярна і до похилої DB. Розглянемо випадок 1: α = 40°, β = 50° 1. У трикутнику ABC, кут ABC = 180° - α - β = 180° - 40° - 50° = 90°. Отже, трикутник ABC прямокутний з прямим кутом при вершині B. 2. Оскільки AD перпендикулярна до площини ABC, то AD перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині. Отже, AD ⊥ BC. 3. Оскільки ABC - прямокутний трикутник (∠ABC = 90°), то BC ⊥ AB. Отже, BC перпендикулярна до AB, яка є проекцією DB на площину ABC. 4. За теоремою про три перпендикуляри, оскільки BC перпендикулярна до проекції AB, то BC перпендикулярна і до похилої DB. Отже, DB ⊥ BC. Розглянемо випадок 2: α = 30°, β = 60° 1. У трикутнику ABC, кут ABC = 180° - α - β = 180° - 30° - 60° = 90°. Отже, трикутник ABC прямокутний з прямим кутом при вершині B. 2. Оскільки AD перпендикулярна до площини ABC, то AD перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині. Отже, AD ⊥ BC. 3. Оскільки ABC - прямокутний трикутник (∠ABC = 90°), то BC ⊥ AB. Отже, BC перпендикулярна до AB, яка є проекцією DB на площину ABC. 4. За теоремою про три перпендикуляри, оскільки BC перпендикулярна до проекції AB, то BC перпендикулярна і до похилої DB. Отже, DB ⊥ BC. Висновок: У обох випадках, коли α = 40°, β = 50° і коли α = 30°, β = 60°, ми довели, що DB ⊥ BC, використовуючи теорему про три перпендикуляри. Відповідь: DB ⊥ BC в обох випадках.