4. ΔABCΔABC равнобедренный, МP||BC, MP||KH, ∠B=80°, AM:MB=1:3, MK:KB=1:5, AB=8см. Найдите: ∠A, ZAKH, ZKHA, HC.

Дано: \(\triangle ABC\) - равнобедренный, \(MP \parallel BC\), \(MP \parallel KH\), \(\angle B = 80^\circ\), \(AM:MB = 1:3\), \(MK:KB = 1:5\), \(AB = 8\text{ см}\). Найти: \(\angle A\), \(\angle AKH\), \(\angle KHA\), \(HC\). Решение: 1. Так как \(\triangle ABC\) - равнобедренный, то \(\angle A = \angle C\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = 50^\circ\). 2. \(AM:MB = 1:3\), значит, \(AM = \frac{1}{4} AB = \frac{1}{4} \cdot 8\text{ см} = 2\text{ см}\), \(MB = 6\text{ см}\). 3. \(MK:KB = 1:5\), значит, \(MK = \frac{1}{6} MB = \frac{1}{6} \cdot 6\text{ см} = 1\text{ см}\), \(KB = 5\text{ см}\). 4. Так как \(KH \parallel MP\) и \(MP \parallel BC\), то \(KH \parallel BC\). Следовательно, \(\angle AKH = \angle ABC = 80^\circ\) (как соответственные углы при параллельных прямых \(KH\) и \(BC\) и секущей \(AB\)). 5. \(\angle KHA = \angle C = 50^\circ\) (как соответственные углы при параллельных прямых \(KH\) и \(BC\) и секущей \(AC\)). 6. Рассмотрим \(\triangle ABH\): \(\angle ABH = 80^\circ\), \(\angle BAH = 50^\circ\), тогда \(\angle AHB = 180^\circ - 80^\circ - 50^\circ = 50^\circ\), значит, \(\triangle ABH\) равнобедренный и \(BH = AB = 8\text{ см}\). 7. По теореме Фалеса \(\frac{AK}{AB} = \frac{AH}{AC}\). \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4}\). Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то \(AB = BC = 8\text{ см}\). Тогда \(HC = BC - BH = 8\text{ см} - 8\text{ см} = 0\text{ см}\). Ответ: \(\angle A = 50^\circ\), \(\angle AKH = 80^\circ\), \(\angle KHA = 50^\circ\), \(HC = 0\text{ см}\).